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Cómo medir la Complejidad
16 de Marzo de 2014
¿Qué queremos decir con que un sistema dado muestra "comportamiento complejo"?, ¿podemos ofrecer medidas precisas para el grado de complejidad? En esta entrada se presenta un breve resumen sobre los diversos enfoques que ha habido para dar medidas concretas de esta complejidad.
La pregunta principal es... ¿podemos proporcionar una sola medida, oun pequeño número de medidas, que sean adecuadas para caracterizar el "grado de complejidad" de cualquier sistema dinámico? Esta pregunta, que cae dentro de la filosofía más que de las matemáticas, ha fascinado a los investigadores durante décadas y hasta el momento no hay respuestas definitivas, aunque sí aproximaciones a ellas.
La búsqueda de estas medidas de complejidad toca muchos temasinteresantes de la teoría de sistemas dinámicos y ha dado lugar a una serie de potentes herramientas, aunque el objetivo original de desarrollar una medida que valga para medir la complejidad de cualquier sistema no parece realista y se ha eliminado de los objetivos científicos. Los sistemas dinámicos complejos muestran una gran variedad de comportamientos cualitativamente diferentes (que es una de lasrazones por las que la teoría de sistemas complejos es tan fascinante), y no parece apropiado intentar meter todos los sistemas complejos en una sola bolsa para medir su grado de complejidad siguiendo un único criterio.
La tarea de desarrollar una medida matemáticamente bien definida para la complejidad se ve obstaculizada por la falta de un objetivo claramente definido. Vamos a presentar algunosrequisitos previos y algunas de las restricciones que deben postularse para obtener una medida de complejidad válida. Al final, sin embargo, es algo que depende de nuestra intuición el decidir si estos requisitos son apropiados o no para ello.
Complejidad frente a Aleatoriedad
Una propuesta habitual para medir la complejidad es la entropía informativa de Shannon: H[p]=−∑xip(xi)log(p(xi)). Estamedida se anula cuando el sistema es regular (es decir, hay un solo evento probbale), lo que concuerda con nuestra intuición de que la complejidad es baja cuando no pasa nada, y sin embargo, es máxima para una dinámica completamente al azar.
Realmente, es una cuestión de punto de vista el que se considere que los sistemas aleatorios son complejos. Para algunas consideraciones, por ejemplo, cuandose trata de la "complejidad algorítmica" tiene sentido atribuir un grado de complejidad máximo a conjuntos completamente aleatorios de objetos. En general, sin embargo, se considera que las medidas de complejidad deben ser funciones cóncavas que alcanzan sus mínimos tanto para comportamientos regulares como para secuencias puramente aleatorias.
La complejidad de los sistemas formados por muchascomponentes
Habitualmente, se considera que la complejidad debe ser una cantidad positiva, como ocurre con la entropía. Pero, ¿cómo se debe comportar respecto al tamaño del sistema?, ¿debe crecer con él, o debería ser independiente del tamaño?, ¿y si consideramos la agrupación de muchos sistemas idénticos e independientes? Intuitivamente, se podría esperar que no se ganara complejidad cuando seconsidera el comportamiento de un conjunto de N sistemas dinámicos independientes e idénticos; pero, por otro lado, no podemos descartar que la interacción de N sistemas dinámicos debería mostrar un comportamiento cada vez más complejo si se aumenta el número de subsistemas. Por ejemplo, consideramos intuitivamente que la dinámica global del cerebro debe ser más compleja que los patrones que seproducen entre las neuronas individuales.
No existe una manera sencilla de resolver este dilema en la búsqueda de una sola medida de complejidad que sirva para todos los sistemas complejos, ya que parece que ambas opciones tienen aplicabilidad dependiendo del caso concreto que estemos analizando.
Complejidad y predecibilidad
Se pueden construir medidas de complejidad interesantes haciendo uso de...