estudiante

LA DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES APLICADA A LA INGENIERÍA
E IMPLEMENTADA CON MATHEMATICA
A. B. Cabello1, A. H. Encinas1, L. Hernández2, A. Martín3
1

Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Salamanca,
E.T.S.I.I. de Béjar, Avda Fernández Ballesteros 2, 37700 Béjar, Salamanca.
Corrreo-e: {anabelencp, ascen}@usal.es
Tfno: (+34)923408080 Ext: 2223 Fax: (+34)923408127
2

CSIC, C/Serrano 144, 28006, Madrid.
Correo-e: luis@iec.csic.es
Tfno: (+34) 915618806 Fax: (+34)914117651
3

Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Salamanca,
E.P.S. de Ávila, C/ Hornos Calero 50, 05003 Ávila.
Correo-e: delrey@usal.es
Tfno: (+34)920353500 Fax: (+34)920353501

RESUMEN
Con este trabajo se pretende ilustrar la utilidad de la diagonalización de matrices en la Ingenieríamediante dos
ejemplos; el primero de carácter empresarial y el segundo mecánico. De esta manera, los alumnos adquieren los
conocimientos correspondientes a la programación de la asignatura de Álgebra Lineal contextualizados en el marco de
la Ingeniería.
Además, y dado el interés que tiene la adquisición de habilidades informáticas en la formación de los ingenieros, se han
implementado estosejemplos con el programa Mathematica; lo cual significa la primera aproximación de los alumnos a
dicha herramienta informática.

PALABRAS CLAVE: diagonalización de matrices, programa Mathematica, Espacio Europeo de Educación Superior.

1. INTRODUCCIÓN
Este trabajo se enmarca en el proceso de adaptación al Espacio Europeo de Educación Superior que propone
fundamentar la práctica docente enel aprendizaje, más que en la enseñanza, mediante la utilización de una metodología
activa, con una mayor implicación del estudiante y la consideración del profesor como agente creador de entornos de
aprendizaje motivadores para los alumnos.
Consideramos que es necesario que los futuros ingenieros adquieran los conocimientos matemáticos contextualizados
en el marco de la Ingeniería y queadquieran las habilidades informáticas que serán necesarias en su desarrollo
profesional. Para ello, hemos utilizado dos ejercicios, uno de carácter empresarial y otro mecánico, comprobando en
ellos la importancia de la diagonalización de matrices, también hemos realizado su implementación con el paquete
Mathematica.

2. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES. POTENCIA DE UNA MATRIZ.
Enunciado 1: En un paísexisten tres fábricas de componentes que controlan el mercado de venta de componentes en
régimen de oligopolio. A lo largo del tiempo algunos clientes cambian de fábrica por diversas razones: publicidad,
precio u otras. Se pretende modelizar y analizar el movimiento del mercado, asumiendo, para simplificar el modelo, que
la misma fracción de consumidores cambia de una fábrica a otra durantecada periodo de tiempo, un mes por ejemplo.
Denotando x0, y0, z0 la fracción de mercado controlada por cada fábrica, se tiene que x0 + y0 + z0 = 1. Sea N el número
fijo de clientes.

Después de un mes las fracciones correspondientes son x1, y1, z1. Suponemos que la primera fábrica ha mantenido una
fracción a11 de los clientes que tenía, y ha atraído una fracción a12 de la segunda y a13 de latercera fábrica.
Análogamente se hace para las otras dos fábricas.
Entonces se tiene:
x1 = a11 x0 + a12 y0 +a13 z0
y1 = a21 x0 + a22 y0 +a23 z0
z1 = a31 x0 + a32 y0 +a33 z0
Expresado en forma matricial:

X1 = A X0

Como hemos supuesto que la misma fracción de clientes cambia de una fábrica a otra durante cada mes, entonces se
tiene que Xn +1 = A Xn y, en consecuencia, Xn +1 = An+1 X0
Secomprueba fácilmente que para cualquier índice, xn + yn + zn = 1.
En conclusión, el estudio de mercado se traduce, matemáticamente, en calcular potencias de una matriz.
En este contexto es fácil entender la necesidad del estudio de la diagonalización de matrices para calcular la potencia de
una matriz.

3. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Sea Xt =...