Estudiante

Cálculo Numérico – Programación Aplicada

2009

Integración Numérica
Matemáticamente, la integración se representa por
b

I = ∫ f ( x)dx
a

que representa a la integral de la función f(x) con respecto a la variable x, evaluada entre los límites

x = a e y = b.
El significado de la ecuación es el valor total o sumatoria de f(x) dx sobre el intervalo de x = a a x = b.
La figurarepresenta una manifestación gráfica de este concepto. Para las funciones que se encuentran
b

sobre el eje x, la integral expresada por la ecuación

I = ∫ f ( x)dx , corresponde al área bajo la curva de
a

f(x) entre x = a y x = b.
y

a

b

x

Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una función que no tiene una
primitiva explícita o cuya primitiva tienevalores que no son fácilmente obtenibles, como pueden ser la
función de error, combinaciones algebraicas de funciones trascendentes y logarítmicas o la función
gamma de Euler, etc. Por otro lado, cuando únicamente conocemos el valor de la función en un conjunto
de puntos (xi,fi), como ocurre con los resultados de un experimento o de simulaciones numéricas, sus
integrales sólo se pueden obtenernuméricamente, lo cual motiva aún más la necesidad de poder
obtener derivadas e integrales a partir de conjuntos discretos de datos.
b

El método básico involucrado para aproximar

I = ∫ f ( x)dx se conoce como cuadratura numérica y se
a

basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con
alguna función aproximada que sea más fácil deintegrar, las funciones aproximadas son los polinomios
de interpolación. Por consiguiente, las distintas fórmulas de interpolación darán por resultado distintos
métodos de integración numérica.
Consideraremos las fórmulas que se obtienen usando polinomios de Lagrange de primero y segundo
grado con nodos uniformemente espaciados. Estas fórmulas son la regla del trapecio y la regla de
Simpson, que sonejemplos de un tipo de métodos conocidos como fórmulas de Newton – Cotes. Hay
dos tipos de fórmulas de Newton – Cotes, las fórmulas abiertas y las fórmulas cerradas. Las fórmulas
cerradas son aquellas donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen.
Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos, en
general,no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de
ecuaciones diferenciales.

1
Ing. Adriana M. Apaza – JTP Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – Programación Aplicada

2009

Regla del trapecio
b

Para derivar la regla del trapecio para aproximar I = ∫ f ( x)dx , sean
a

x0 = a, x1 = b, h = b − a usando el

polinomio de Lagrange de primergrado:

P1 ( x) =
b

∫

Por lo tanto,

a

( x − x0 )
( x − x1 )
f ( x0 ) +
f ( x1 ) .
( x 0 − x1 )
( x1 − x0 )

1
 ( x − x1 )

( x − x0 )
11
f (x )dx = ∫ 
f ( x0 ) +
f ( x1 )dx + ∫ f ′′(ξ ( x ))( x − x 0 )( x − x1 )dx.
( x 0 − x1 )
( x1 − x 0 )
2 x0

x0 

x

x

Recordemos el Teorema del valor medio ponderado para integrales, para obtener el término delerror.
Si f es continua en [a, b], g es integrable en [a, b], entonces existe un número c, a ≤ c ≤ b, tal que:
b

b

a

a

∫ f ( x) g ( x)dx = f (c)∫ g ( x)dx
Como ( x −

x0 )( x − x1 ) no cambia de signo en [x0 , x1 ], el teorema anterior puede aplicarse al término

del error y
x1

∫

x1

f ′′(ξ ( x))( x − x0 )( x − x1 )dx = f ′′(ξ ) ∫ ( x − x0 )( x − x1 )dx

x0

x0

 x3 ( x + x0 ) 2

h3
= f ′′(ξ )  − 1
x + x0 x1 x  = −
f ′′(ξ )
2
6
3
 x0
x1

Consecuentemente,
b

∫
a

 ( x − x1 )

( x − x0 )
11
f (x)dx = ∫ 
f ( x0 ) +
f ( x1 )dx + ∫ f ′′(ξ ( x))( x − x0 )( x − x1 )dx =
( x0 − x1 )
( x1 − x0 )
2 x0

x0 
x1

x

 ( x − x1 )2
(x − x0 )2 f ( x ) − h 3 f ′′(ξ )
=
f ( x0 ) +
1
2( x1 − x 0 )
 2( x0 − x1 )
 x0...