Estudiante

4.2 Método de las aproximaciones sucesivas
Dada la ecuación f(x) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por unaequivalente, x=g(x), definida en la forma g(x)=f(x)+x. Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial x0 y calculamos una nueva aproximación x1=g(x0).Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores , que si converge, tendrá como límite la solución delproblema. 
  
 
  
Figure: Interpretación geométrica del método de las aproximaciones sucesivas. |
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En la figura (4) serepresenta la interpretación geométrica del método. Partimos de un punto inicial x0 y calculamos y = g(x0). La intersección de esta solución con larecta y=x nos dará un nuevo valor x1 más próximo a la solución final.
Sin embargo, el método puede divergir fácilmente. Es fácil comprobar que el método sólo podráconverger si la derivada g'(x) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de la recta definida por y=x). Un ejemplo de este caso se muestraen la figura (5). Esta condición, que a priori puede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse fácilmente. Para ello basta elegir lafunción g(x) del siguiente modo:

de forma que tomando un valor de  adecuado, siempre podemos hacer que g(x) cumpla la condición de la derivada. 
  
    
Figure: Demostración gráfica de que el método de las aproximaciones sucesivas diverge si la derivada g'(x) > 1. |
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