Estudiante

Materiale didattico per il corso di Statistica
(Economia e Commercio, A-La e Lb-Z)
Prima esercitazione
Anno Accademico 2011-2012

1

Strumenti di Base

1.1

Sommatoria

Siano ai e bi , i = 1, . . . , n, due serie di numeri e c una costante qualsiasi. Si definisce
la sommatoria nel modo seguente:
n

ai = a1 + a2 + . . . + an .
i=1

Alcune propriet`
a
1.

n
i=1

c = c + c+ ... + c = nc .

2.

n
i=1

c ai = c a1 + c a2 + . . . + c an = c (a1 + a2 + . . . + an ) = c

3.

n
i=1 (ai

4. (

n
i=1

n
i=1

+ bi ) =
c

ai ) =

n
i=1

ai +

n
i=1 bi

n
i=1 (ai bi )

=

ai .

.

ac .
i

Ad esempio, con n = 2 e c = 2, si ha (
a2 + a2 = n=1 a2 .
1
2
i
i
5.

n
i=1

n
i=1

ai

n
i=1 bi

Ad esempio, con n = 2, siha
a1 b1 + a1 b2 + a2 b1 + a2 b2 =

n
i=1

2

ai ) = (a1 +a2 )2 = a2 +2 a1 a2 +a2 =
1
2

.
n
i=1 (ai bi ) = a1 b1
n
n
i=1 ai
i=1 bi .

1

+ a2 b2 = (a1 + a2 ) (b1 + b2 ) =

1.2

Produttoria

Siano ai e bi , i = 1, . . . , n, due serie di numeri e c una costante qualsiasi. Si definisce
la produttoria nel modo seguente:
n

ai = a1 a2 . . . an .
i=1

Alcunepropriet`
a
1.

n
i=1

c = c c . . . c = cn .

2.

n
i=1

c ai = c a1 c a2 . . . c an = cn (a1 a2 . . . an ) = cn

3.

n
i=1 (ai bi )

4. (
5.

1.3

n
i=1

c

ai ) =

n
i=1 (ai

n
i=1

=

n
i=1

+ bi ) =

n
i=1 bi

ai

n
i=1

ai .

.

ac .
i
n
i=1

ai +

n
i=1 bi

.

Logaritmo

Il logaritmo in base b del numero reale positivo x, l =logb x, si definisce come
l’esponente l da dare a b per ottenere x, ossia: x = bl . Le basi pi` comunemente
u
utilizzate sono quella naturale, ossia il numero neperiano e = 2, 7183 . . ., e la base
10.
Alcune propriet`
a
1. logb 1 = 0 .
2. logb b = 1 .
3. lim logb x = −∞; lim logb x = +∞
+
x→0

x→+∞

4. logb (x y ) = logb x + logb y
(pi` in generale, logb (
u

n
i=1

xi ) =n
i=1

logb xi ).

5. logb (xc ) = c logb x.
6. logb (x/y ) = logb (x y −1 ) = logb x + logb y −1 = logb x − logb y .
7. Cambio di base: logb x = logb c logc x.

2

2

Esercizi
1. (a) Dati i seguenti valori di X : x1 = 3; x2 = 1; x3 = 4; x4 = 6; x5 = 5;
calcolare:
5

5

5

xi ,

i

xi ,

i=1

xj

i=1

i=1 j =1

(b) Provate che
2

n

xi

n−1

n

x2
i=

i=1

+2

i=1
n
i=1 (xi

(c) Provate che se f (a) =

n

x i xj

(1)

i=1 j =i+1

− a)2 allora f (a) = −2

n
i=1 (xi

− a)

Soluzione:
(a)
5

5

xi = 19,

5

i

xi = 360,

i=1

i=1

xj = 48
i=1 j =1

(b) Dimostriamo che se l’eq. (1) vale per un fissato n, allora essa vale
anche per n + 1:
2

n+1

xi

= (x1 + · · · + xn + xn+1 )(x1 + · · ·+ xn + xn+1 ) =

i=1

= (x1 + · · · + xn )2 + 2(x1 + · · · + xn )xn+1 + x2 +1 =
n
2

n

=

+ 2(x1 + · · · + xn )xn+1 + x2 +1 =
n

xi
i=1

n−1

n

x2
i

=

xi xj + 2(x1 + · · · + xn )xn+1 + x2 +1 =
n

+2

i=1

i=1 j =i+1

n+1

n

x2
i

=
i=1

n

n+1

+2

xi xj
i=1 j =i+1

Poich´ sappiamo che l’eq. (1) vale per n = 2, essendo
e
(x1 + x2 )2 =x2 + x2 + 2x1 x2 ,
1
2
essa vale per ogni n ≥ 2.
Questo ` un esempio di dimostrazione per induzione.
e
(c) La soluzione segue immediatamente dall’applicazione delle propriet`
a
delle derivate.

3

2. Un esperimento consiste nel chiedere a tre signore, scelte casualmente, se
utilizzano un certo prodotto.
(a) Elencare gli elementi dell’insieme universo, usando le lettere Y per s` e
ıN per no.
(b) Elencare gli elementi di Ω corrispondenti all’evento
E = {almeno due donne usano il prodotto}.
(c) Spiegare cosa sia l’evento:
A = {(Y, Y, Y ), (N, Y, Y ), (Y, Y, N ), (N, Y, N )}.
Soluzione:
(a) L’insieme universo (detto anche spazio degli eventi) `:
e
S = {(Y, Y, Y ), (Y, Y, N ), (Y, N, Y ), (N, Y, Y ), (Y, N, N ), (N, Y, N ),
(N, N, Y ), (N, N, N )}
(b) E = {(Y, Y, Y...