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UNIDAD 2 : FUNCIONES
Antes de comenzar el estudio de las funciones debemos hacer un breve repaso sobre valor absoluto junto con algunas de sus propiedades, los intervalos abiertos y los intervalos cerrados ya que estos conceptos serán utilizados en esta unidad. 2.1. VALOR ABSOLUTO El valor absoluto x de un número real x se define como sigue:
 x si x ≥ 0 x = − x si x < 0

Además:
x2 = xx = a ⇔ x = ±a

x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a x ≥ a ⇔ x ≥ a o x ≤ −a

2.2. INTERVALOS FINITOS Un intervalo abierto (a, b ) es el conjunto de todos los números reales x mayores que a y menores que b . Es decir:

(a, b ) = {x ∈ R : a < x < b}
a b x Un intervalo cerrado [a , b ] es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a y menores o iguales que b . Es decir:

[a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}
a 2.3. INTERVALOS INFINITOS Un intervalo (a, ∞ ) es el conjunto de todos los números reales x mayores que a . Es decir: b x

(a, ∞ ) = {x ∈ R : a < x}
a x

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Un intervalo [a, ∞ ) es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a . Es decir:

[a, ∞ ) = {x ∈ R : a ≤ x}
a x Un intervalo (− ∞, b ) es elconjunto de todos los números reales x menores que b . Es decir:

(− ∞, b ) = {x ∈ R : x < b}
b x Un intervalo (− ∞, b] es el conjunto de todos los números reales x menores o iguales que b . Es decir:

(− ∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
b x

Ejemplo No. 26: Resuelva la siguiente desigualdad y represente gráficamente el intervalo solución: 2 x − 3 < 5 Solución:
2x − 3 < 5 ⇔ − 5 < 2x − 3 < 5 ⇔ − 5+ 3 < 2x − 3 + 3 < 5 + 3 ⇔ − 2 < 2x < 8 2 2x 8 ⇔ − < < 2 2 2 ⇔ −1 < x < 4

La solución de la desigualdad anterior es el intervalo: (− 1, 4 ) La representación grafica del intervalo solución es: -1 4 x

EJERCICIOS PROPUESTOS No. 6 En cada caso resuelva la desigualdad y represente gráficamente el intervalo solución:
1. x − 2 <
1 2

4. x 2 − 8 x + 12 > 0 5. x 2 − x − 2 ≤ 0 6. x 2 < 4

2. x+ 3 > 1 3.

x −2 ≤4 3

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Estudiaremos el concepto de función a partir de un ejemplo el cual llamaremos un estudio de caso: ESTUDIO DE CASO: Un granjero tiene 24 m de cerca y desea encerrar un terreno rectangular limitado por un rio de orilla recta. Expresaremos el área del terreno en términos de la longitud del ancho del terreno. Ademásdeterminaremos las dimensiones que debe tener el terreno de tal manera que su área sea la más grande (área máxima) Consideremos la siguiente figura: y x Supondremos que el terreno tiene un largo y y un ancho x . Por lo tanto el área del terreno es:
A = xy

La ecuación anterior expresa el área A del terreno en términos del largo y y del ancho x . Pero debemos expresar A en términos de x . Paratal efecto debemos tener en cuenta que el granjero solamente dispone de 24 m cerca para encerrar el terreno es decir:
2 x + y = 24

Ahora despejemos y en la ecuación anterior: y = 24 − 2 x Y remplacemos y en la ecuación del área:
A = x (24 − 2 x )

A = 24 x − 2 x 2

La ecuación anterior expresa el área A del terreno en términos del ancho x . Es decir A depende de x Según el ejemplo lamagnitud A depende de la magnitud x . Esto es lo mismo que decir A está en función de x . Esta dependencia entre A y x se simboliza:
A( x ) = 24 x − 2 x 2

La variable A se denomina variable dependiente. La variable x se denomina variable independiente. Veamos qué pasa con el área A si el ancho del terreno es igual a 4 . Es decir si x = 4 : Si x = 4 , entonces A = 24(4 ) − 2(4)2 ⇒ A = 64 Loanterior se denota de la siguiente manera:
A(4 ) = 64

Y se denomina evaluar el área A en x = 4

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Calculemos A(0 ) :
A(0 ) = 24(0 ) − 2(0 ) ⇒ A(0 ) = 0
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Es claro que x no puede ser 0 ya que A valdría 0 . Además x no puede ser negativo ( x < 0 ) ya que x representa una longitud. Calculemos A(12 ) :
A(12 ) = 24(12 ) − 2(12) ⇒ A(12 ) =...