Estudiante

TABLA DE CONTENIDO

NÚMEROS COMPLEJOS
1.1. INTRODUCCIÓN 1
1.2. DEFINICIÓN 1
1.2.1. INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO 2
1.2.2. MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO 2
1.2.3. EJEMPLOS 3
1.2.4. FORMA POLAR 4
1.2.5. FÓRMULA DE DE-MOIVRE 6
1.2.6. PRODUCTO VECTORIAL Y ESCALAR 6
1.2.7. EJEMPLOS 7
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
2.1. REGLA DE CORRESPONDENCIA ENTRE NÚMEROS COMPLEJOS 9
2.2.TIPOS DE FUNCIONES COMPLEJAS 9
2.2.1. FUNCIONES POLINÓMICAS 9
2.2.2. FUNCIONES RACIONALES 9
2.2.3. FUNCIONES EXPONENCIALES 9
2.2.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 10
2.2.5. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 10
2.2.6. FUNCIONES LOGARÍTMICAS 10
2.2.7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 10
2.2.8. FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS 10
2.2.9. FUNCIONES ALGEBRAICAS TRASCENDENTALES 11
2.3.PROBLEMAS 11
DERIVACIÓN COMPLEJA
3.1. INTRODUCCIÓN 12
3.2. FUNCIÓN ANALÍTICA 12
3.3. FUNCIÓN ARMÓNICA 12
3.4. PROBLEMAS 13
BIBLIOGRAFÍA 21









NÚMEROS COMPLEJOS

1.1. INTRODUCCIÓN

Los números complejos son una creación esencialmente algebraica. Cardano introdujo la unidad imaginaria en 1545 para expresar las soluciones, aunque fueran “imaginarias”, de las ecuaciones de segundogrado, y desde este momento los algebristas encontraron cada vez más evidencias de que los números imaginarios resultantes de admitir al número [pic] como si fuera un número real más eran suficientes para resolver cualquier ecuación polinómica. Sin embargo, una prueba de esta conjetura tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Gauss demostró en su tesis doctoral que todo polinomio concoeficientes complejos se descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus raíces en [pic]: éste es el teorema fundamental del álgebra. Otro descubrimiento de Gauss mucho más simple, pero no menos importante, fue que la aritmética de los números complejos, introducida formalmente a partir de la relación [pic], tiene una interpretación geométrica sencilla si identificamos los elementos de [pic]con los puntos del plano. Esta interpretación puede considerarse como el punto de partida del estudio analítico de los números complejos. En términos modernos [pic] recibe la topología de [pic] y la relación de esta topología con su aritmética es la misma que se da en[pic]. En particular tiene sentido la expresión.
[pic] (1.1.)
Para cualquier función compleja [pic] definida en un entornodel punto [pic]. Se abre así una teoría de derivación de funciones complejas similar a su análoga real. Sus sólidos cimientos fueron establecidos por Cauchy en los numerosos artículos que dedicó a esta materia. Como cabe esperar, las funciones derivables en el sentido complejo y las funciones derivables reales comparten sus propiedades básicas con demostraciones prácticamente idénticas (se tratade las propiedades que dependen directamente de la topología y la estructura de cuerpo), pero al profundizar en la teoría pronto se advierte una diferencia esencial con el caso real: mientras que el análisis real es esencialmente geométrico, en el sentido de la mayoría de sus resultados son conjeturables a partir de la interpretación geométrica de la derivada, la geometría apenas interviene en elanálisis complejo.

1.2. DEFINICIÓN

Recordemos que los números complejos son de la forma [pic], donde [pic] y [pic] son números reales e [pic] es la unidad imaginaria, caracterizada por que [pic]. Esta ecuación, junto a las leyes de cuerpo, determina la suma y el producto de los números complejos, pues:
[pic] (1.2.)
[pic] (1.3.)
Los números reales [pic] y [pic] de la expresiónbinómica anterior están unívocamente determinados por el número complejo [pic]. Se llaman respectivamente parte real (Re z) y parte imaginaria (Im z) de z. Esta unicidad nos permite identificar el cuerpo [pic] de los números complejos con el espacio[pic], asociando a cada numero [pic] el par ordenado ([pic],[pic] ). Esto nos da una interpretación geométrica de [pic] como el conjunto de todos los...