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Raíces de ecuaciones |

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Raíces de ecuaciones
Sea . Los valores de x que hacen que y=0 se denominan raíces de la ecuación. El teorema fundamental del álgebra indica que todo polinomio de grado n tiene n raíces. En el caso de las raíces reales, se tiene que corresponden a los valores x que hacen que la función corte el eje de las abscisas:

Las raíces de un polinomio pueden serreales o complejas. Si un polinomio tiene coeficientes reales, entonces todas las raíces complejas siempre ocurrirán en pares conjugados complejos. Por ejemplo, un polinomio cúbico tiene la siguiente forma general:

El teorema fundamental del álgebra indica que un polinomio de grado n, tiene n raíces. En el caso del polinomio cúbico pueden darse los siguientes casos:
* Tres raíces realesdistintas.
* Una raíz real con multiplicidad 3.
* Una raíz real simple y una raíz real con multiplicidad 2.
* Una raíz real y un par conjugado complejo.
Ejemplo. Las raíces de los siguientes polinomios se resumen a continuación.
1. Tres raíces reales distintas:
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2. Una raíz real con multiplicidad 3:
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3. Una raíz real simple y una raíz real con multiplicidaddos:
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4. Una raíz real y un par conjugado complejo:
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Para su estudio, las funciones pueden clasificarse en algebraicas y trascendentales.
Funciones algebraicas
Sea g=f(x) la función expresada como

Donde fi es un polinomio de orden i en x. Los polinomios son un caso simple de funciones algebraicas que se representan generalmente como

Donde n es el orden del polinomio.Ejemplo.
f2(x)=1-2.37x+7.5x2
f6(x)=5x2-x3+7x6
Funciones trascendentales
Son aquellas que no son algebraicas. Comprenden a las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras.
Ejemplo.

Los métodos descritos en esta unidad requieren que la función sea diferenciable en el intervalo donde se apliquen. Si los métodos se utilizan en funciones no diferenciables o discontinuasen algunos puntos, llegar al resultado dependerá, aleatoriamente, de que durante la aplicación del método no se toquen esos puntos.
Por otra parte, las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas. Los métodos numéricos estándar para encontrar raíces pueden clasificarse en dos rubros:
1. La determinación de las raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales. Las técnicasa emplear en estos casos se diseñaron con el fin de encontrar el valor de una raíz simple de acuerdo con un conocimiento previo de su posición aproximada.
2. La determinación de todas las raíces reales y complejas de un polinomio, para lo cual los métodos numéricos están diseñados específicamente para polinomios. Determinan sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugar de hacerlosólo con una, dada la posición aproximada.
Raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales
En general, los métodos para encontrar las raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales se dividen en métodos de intervalos y en métodos abiertos.
Los métodos de intervalos aprovechan el hecho de que una función en forma típica cambia de signo en la vecindad de una raíz. Recibendicho nombre debido a que se necesita de dos valores iniciales que deben “encapsular” a la raíz. A través de este tipo de métodos se va reduciendo gradualmente el tamaño del intervalo de manera que la aplicación repetida de los métodos siempre generan aproximaciones cada vez más cercanas al valor real de la raíz, por lo que se dice que son métodos convergentes.
Los métodos abiertos, encontraparte, se basan en fórmulas que requieren de un solo valor inicial x (aproximación inicial a la raíz). Algunas veces, estos métodos se alejan del valor real de la raíz conforme crece el número de iteraciones, es decir, divergen .
En esta unidad se estudiarán un método de intervalo conocido como método de bisección y dos métodos abiertos: el método del punto fijo y el método de Newton-Raphson....