Estudiante

DERIVADAS Definición de derivada
Ejercicio nº 1.Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.

Ejercicio nº 2.Calcula la derivada de f (x) = x2 + x + 1 en x0 = 0 utilizando la definición.

Ejercicio nº 3.Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero enotro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.

1

Ejercicio nº 4.-

Halla la derivada de f (x ) = x + 2 en x 0 = 0 utilizando la definición.

Ejercicio nº 5.Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.

Ejercicio nº 6.-

Utilizando la definición, calcula f '(1), sabiendo que f (x ) = x + 1.

Ejercicio nº 7.Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.

2

.

Ejercicio nº 8.Si f (x) = 2x2 − 3 halla su derivada en x0 = 1 utilizando la definición.

Ejercicio nº 9.Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3,pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.

3

Ejercicio nº 10.Si f (x) = −x2 + 1, halla su derivada en x0 = 2 utilizando la definición.

Continuidad y derivabilidad
Ejercicio nº 11.Hallar a y b para que la función f (x) sea continua:
a  f (x ) = ax + b 4 x  si si si x −1

Solución: Para que sea derivable, primero ha de ser continua. Si x ≠ −1, lafunción es continua, pues está formada por dos polinomios. Para x = −1.
lím f (x ) = lím− x 2 + 3 x + m = −2 + m  x → −1    2 lím+ f (x ) = lím+ x − nx = 1 + n  x → −1 x → −1   f (− 1) = −2 + m  
x → −1−

(

)

(

)

15

Para que sea continua en x = −1, ha de ser: −2 + m = 1 + n
DERIVABILIDAD

→

m=n+3

Si x ≠ −1, la función es derivable, además:
2 x + 3 f ' (x )=  2 x − n x < −1 x > −1

En x = −1.
 Para que sea derivable en x = −1, ha de ser : f ' − 1− = 1  + f ' − 1 = −2 − n  1 = −2 − n → n = −3 → m = 0

( ) ( )

Ejercicio nº 15.Hallar a y b para que la función f (x) sea continua:
− ax  f (x ) = ax − b 2 x  si si x < −1 −1≤ x < 1

si 1 ≤ x

Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad.

Solución: Si x ≠ −1 y x ≠1, la función es continua, pues está formada por polinomios. Para x = −1.
   lím+ f (x ) = lím+ (ax − b ) = −a − b  Para que sea continua, ha de ser : 2a = −b x → −1 x → −1   f (− 1) = −a − b 
x → −1− x → −1

lím f (x ) = lím− (− ax ) = a

Para x = 1.
lím f (x ) = lím (ax − b ) = a − b  x →1−   lím f (x ) = lím 2 x = 2  Para que sea continua, ha de ser : a − b = 2 x →1+ x →1+  f (1) = 2 
x →1−

Por tanto, a =

2 −4 , b= 3 3

Para estos valores, queda:

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 − 2x  3  2 4  f (x ) =  x + 3 3  2 x  
DERIVABILIDAD

si si

x < −1 −1≤ x < 1

si 1 ≤ x

Si x ≠ −1 y x ≠ 1, f (x) es derivable, además:
− 2  3  2  f ' (x ) =  3   2 

si si

x < −1 −1< x < 1

si 1 < x

Para x = −1.
f ' − 1− =

( )

−2 2 ≠ f ' − 1+ = 3 3

()

Para x = 1.
f ' 1− =

( )

2 ≠ f ' 1+ = 2 3

( )

La función no es derivable en x = −1 y x = 1. Por tanto: f (x) es derivable en  − {−1, 1}.

Cálculo de derivadas
Ejercicio nº 16.Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) y = ln 1− e x 1+ e x b) y = 3 cos x 3 − 1

(

)

Solución: a) y = ln (1 − ex) − ln (1 + ex)
y'= − ex − e x · (1 + e x ) − e x · (1 − e x ) − 2ex ex − = = 1− e x 1+ e x (1 − e x ) · (1 + e x ) 1− e 2x

b) y ' =

− sen ( x 3 − 1) · 3 x 2

3 3 cos 2 ( x 3 − 1)

=

− x 2 · sen ( x 3 − 1)
3

cos 2 ( x 3 − 1)

17

Ejercicio nº 17.Aplica la derivación logarítmica para derivar: y = x cos x

Solución: f (x) = x cos x ln f (x) = cos x · ln x
f ' (x ) 1 = −sen x · ln x + cos x · f (x ) x

cos x  cos x    cos x f ' (x )...