Estudiante

INTRODUCCION

Las progresiones constituyen el ejemplo más sencillo del concepto de sucesión. Desde los albores de la historia de las matemáticas se han estudiado sus propiedades, y éstas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial.

El estudio de las progresiones aritméticas es paralelo al de las geométricas por cuanto las propiedades de estas últimas emanan de las primerassin más que convertir las sumas en productos, diferencias en cocientes, y el producto por un número natural en una potencia de exponente natural.

El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debeatribuir su paternidad a ningún matemático concreto.

Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios, lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por lo tanto, las progresiones geométricas.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética(P.A) es una sucesión de números reales, si la diferencia entre cada término y el anterior es constante.
La constante en una Progresión aritmética se llama diferencia común y la simbolizaremos con la letra d.
Para que una Progresión aritmética quede completamente definida, además de especificar su diferencia común d, debemos especificar el primer término de la progresión que usualmente se denotau1.

Ejemplo:

a. 0, 1, 2, 3, 4,............, u1 = 0; d = 1
b. 7, 14, 21, 28,35,....., u1 = 7; d = 7
c. 10, 1,-8,-17,-26,......, u1 = 10; d =-9

Específicamente, una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d.
¿Qué Es Una Sucesiones?
Se llama sucesión acualquier secuencia infinita y ordenada de números tal que cualquier elemento de esta secuencia este únicamente determinado.

Ejemplos:
(a) 2, 6, 12, 20, 30,……………………., an = n(n + 1)
(b) 1,2; 2,3; 3,4; 4,5; 5,5,…………., an = 0;1 + 1;1n
(c)
(d) 2, 6, 12, 20, 30,……………………., a5= 5(5+1) =5(6) = 30

Por costumbre, altérmino general de una sucesión se le denota por an y se hablará de término n-ésimo.

Ejemplos:






¿Cómo Reconocer Una Progresión Aritmética?

Para estar seguros de que una sucesión es una progresión aritmética se debe comprobar que la diferencia entre cada término y su anterior es siempre la misma. Además, esta comprobación determinaria el valor de ladiferencia de la progresión.

1.- ¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5... Una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia?

Solución:

Se determina si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma:

5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2; 1 - 3 = -2; -1 - 1 = -2;….

Es una progresión aritmética de diferencia d = -2.

Termino General De Una Progresión Aritmética.El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término general de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:
An = a1 + (n-1)d
Donde d esun número real llamado diferencia.
Si el término inicial de una progresión aritmética es a y la diferencia común es d.
Entonces n es el n-ésimo término de la sucesión viene.
A + nd n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.
A= (n-1)d n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
La primera fórmula es más sencilla, pero es más confusa, ya que no es...