Estudiante

Tema 2

Matrices y Determinantes
2.1 Introducci´n o

Presentaremos en este tema las matrices y los determinantes, centr´ndonos en particular a en el caso de matrices constituidas por n´meros reales. u

2.2

Matrices. Conceptos Fundamentales

Definici´n: Dado un conjunto C, una matriz A de orden m × n de elementos de C es o toda colecci´n de mn elementos de C colocados en m filas y ncolumnas, de la forma: o   a11 a12 ... a1n  a   21 a22 ... a2n  A = (aij ) =    ..  .. ... .. am1 am2 ... amn Donde i = 1, . . . , m, y j = 1, . . . , n. La notaci´n usual es por tanto aij para representar o la componente fila-i columna-j de la matriz. Al conjunto de las matrices de orden m×n con componentes en el conjunto C se le denota por Mm×n (C). Consideraremos en este tema esencialmentematrices de n´mero reales, u es decir el conjunto Mm×n (R), si bien la mayor parte de las propiedades y definiciones que expondremos ser´n v´lidas para cualquier otro tipo de conjunto. a a Definiciones b´sicas: a Sea A una matriz de orden m × n de n´meros reales, A ∈ Mm×n (R), A = (aij ), u i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. 1. Si n = 1, entonces A es una matriz columna. Si m = 1, A es una matrizfila. 2. Si aij = 0, ∀i, j, entonces A es la matriz nula de orden m × n. 13

14

MATRICES Y DETERMINANTES

3. Si m = n la matriz A es cuadrada, en caso contrario es una matriz rectangular. 4. La matriz opuesta de A = (aij ), que denotamos por: −A, es la que tiene como componentes a los opuestos de los de A, es decir −A = (−aij ). 5. Dada una matriz A de orden m × n se llama matriz traspuestade A a la matriz At de orden n × m en la que se intercambian las filas de A con sus columnas. Es decir el elemento que ocupa la posici´n (ij) en A pasa ocupar la posici´n (ji) en At . De o o esta forma: si A = (aij ), entonces At = (at ) = (aji ). Evidentemente (At )t = A. ij Para el caso particular de las matrices cuadradas, A ∈ Mn×n (R), definiremos a su vez: 1. La diagonal principal de A son loselementos de la forma aii , con i = 1, . . . , n, es decir: a11 , a22 ,..., ann . 2. A es triangular superior si aij = 0 para todas las componentes tales que i > j. 3. A es triangular inferior si aij = 0, ∀i < j. 4. A es una matriz diagonal si aij = 0 para i ̸= j. Las matrices diagonales a veces se presentan especificando unicamente los elementos no necesariamente nulos, es ´ decir: A = diag {a11 ,a22 , . . . , ann }. 5. A es sim´trica si para cualquier i, j se verifica que aij = aji . Equivalentemente, A e ser´ sim´trica si At = A. a e 6. A es antisim´trica si para cualquier i, j se verifica que aij = −aji . Equivalentee t = −A. mente: A 7. Se denomina traza de una matriz A a la suma de los elementos de la diagonal principal, es decir: n ∑ tr A = aii
i=1

2.3

El Espacio Vectorial (Mm×n(R), +, · R)

El conjunto de matrices de n´mero reales de m filas y n columnas, Mm×n (R), tiene u estructura de espacio vectorial real (de dimensi´n m n) con las operaciones suma y o producto por escalares definidas de la forma siguiente: Suma: Dadas dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) de orden m × n, se define la matriz suma: A + B, como la matriz m × n cuyos elemento ij es: aij + bij , A + B =(aij + bij ). Es decir, la suma se realiza elemento a elemento.

MATRICES Y DETERMINANTES

15

Producto por un escalar: Dados λ ∈ R y una matriz A ∈ Mm×n (R), A = (aij ), se define λA ∈ Mm×n (R) como la matriz cuyos elementos son: λ A = (λaij ), es decir la matriz que se obtiene al multiplicar por λ todos y cada uno de los elementos de A. Es trivial comprobar que con estas definiciones (Mm×n(R), +, · R) verifica las ocho propiedades de la definici´n de espacio vectorial. Evidentemente el elemento neutro de o la suma ser´ la matriz nula, mientras que el elemento opuesto de una matriz no es m´s a a que su matriz opuesta. La dimensi´n del espacio vectorial real (Mm×n (R), +, · R) es o obviamente igual a mn. Desde otro punto de vista, una matriz A ∈ Mm×n (R) puede ser interpretada como...