Estudiante

INFORME No.3
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´
REGRESION LINEAL MULTIPLE

´
Area

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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
FUNDAMENTAL

Profesor
SANDRA VERGARA CARDOZO

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingenier´
ıa
1

2012

2

TEMA ESPECIAL
Regresi´n lineal m´ltiple
o
u

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Actualmente la capacidad de prever lo que suceder´ a futuro se ha convera
tido en unanecesidad de la sociedad, ya que sea en el ´mbito econ´mico,
a
o
geogr´fico, cient´
a
ıfico u otras ´reas, esta facultad permite actuar en base
a
a los resultados esperados. Gracias a la estad´
ıstica y en particular a la
rama descriptiva se han podido desarrollar diversos m´todos que permiten
e
suplir esta exigencia social. Uno de ellos se conoce como el proceso de
regresi´n lineal el cualpermite a partir de una serie de experimentos,
o
definir una funci´n bajo la cual dos eventos se relacionan. Sin embargo se
o
plantea como problema el comportamiento multivariado de la naturaleza
pues los fen´menos se encuentran relacionados entre s´ como consecuencia
o
ı
de m´ltiples factores cuya descripci´n es imposible de realizar a trav´s de
u
o
e
una regresi´n simple.
o
2.METODOLOG´
IA
Con el fin de aplicar un proceso normalizado que permita relacionar varias
variables independientes mediantes las cuales se encuentra definido un
evento dependiente, se desarrolla el proceso de Regresi´n lineal m´ltiple
o
u
cuya aplicaci´n se obtiene mediante el uso de m´
o
ınimos cuadrados y de
matrices que permitan describir el conjunto de factores que intervienen en
un proceso ylos respectivos errores de aproximaci´n.
o

3

´
3. INTRODUCCION
Siempre es necesario entender todos los fen´menos que ocurren a nuestro
o
alrededor, y poderlos modelar matem´ticamente. Para esto es impora
tante la Regresi´n Lineal, ya sea Lineal o M´ltiple. Esta nos permite
o
u
ajustar datos experimentales a l´
ıneas de tendencia, con el error m´
ınimo
cuadrado, a partir delconocimiento de algunos datos, y justificar as´ su
ı
comportamiento matem´tico. La necesidad del hombre de ser capaz de
a
modelar cualquier situaci´n o fen´meno matem´ticamente, para lo cual se
o
o
a
introdujo de manera principal un concepto o noci´n b´sica, para poder
o
a
entender nuestro tema de inter´s: La Regresi´n Lineal Simple.
e
o
• Regresi´n lineal simple:
o
Para este tipo deregresi´n, o ajuste, tenemos una funci´n con el
o
o
medio de “f (x) = AX + B ”, para poder ajustar los datos a una l´
ınea
de tendencia dada. Ya hay muchas herramientas computacionales,
que se encargan de realizar estos c´lculos, b´sicamente como lo es
a
a
Excel, o de una manera as avanzada, programas como SciLab, Octave o MatLab, las cuales, bajo un c´digo relativamente simple de
oprogramaci´n, resuelven el sistema para la regresi´n Lineal. Para la
o
o
regresi´n Lineal simple (Y para la M´ltiple) Se basa en principio del
o
u
an´lisis num´rico, es decir el m´todo de los M´
a
e
e
ınimos Cuadrados, los
cuales son de la forma:
n
k=1 [Yk

E2 (x) =

− f (xk )]2
n

Para lo cual, Y k son los puntos obtenidos experimentalmente, mientras que f (Xk ) son los puntosevaluados en la funci´n que el usuario
o
escoja, sin importar si esta es lineal, cuadr´tica, exponencial, entre
a
otras. Reemplazando con la funci´n deseada tenemos:
o
n
k=1 [Axi

E2 (x) =

+ B − Yk ]2
n

Con esto, al querer desarrolla la mejor recta que se ajuste a los puntos
obtenidos, deseamos que este error sea lo m´s cercano a Cero, por
a
ende:
O=

n
k=1 [Axi

+ B − Yk ]2
nPara lo cual, se desarrolla el sistema, sabiendo que se debe encontrar
los par´metros A y B, se despejan los par´metros, y se reemplazan
a
a
para los valores de Xk y Y k obtenidos. Como ejemplo de regresi´n
o
Lineal simple, tenemos el siguiente:
Xk
Yk

-1
1.5

0
3.1

1
4.69

4

Para estos datos, obtenemos las siguientes matrices:


1 −1
1 11
F = 1 0  F =
−1 0...