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ALGEBRA I RENÉ ZÚÑIGA FLORES

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA

INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA (2) FACTORIZACIÓN Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. Así, multiplicando a por a  b tenemos:

a (a  b)  a 2  ab a y a  b , que multiplicadas entre sí dan comoproducto a 2  ab son factores o divisores de a 2  ab .
Descomponer en factores o factorar
Factorar o factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores. Para descomponer un monomio en factores, esto se realiza descomponiendo el monomio en sus factores primos (número primo es aquél que es divisible por si mismo y por la unidad). Por ejemplo descomponer15ab en sus factores primos

15ab  3  5  1  a  b Factorizar un polinomio
Para factorizar un polinomio se descompone los términos de este en sus factores primos y luego se buscan todos los factores comunes a estos. Ejemplos: Factorizar: a) Solución: a) 1.

a 2  ab

b)

9a 3 x 2  18ax 2

c)

15 y 3  20 y 2  5 y

a 2  ab
Descomponer cada término en sus factores primos

a2 a  a 1 ab  a  b  1
2. 3. Determinar el factor común a ambos términos: a Por tanto la factorización nos queda así:

a 2  ab  a  a  1  a  b  1  a  (a  1  b  1)  a  (a  b)
b) 1.

9a 3 x 2  18ax 2
Descomponer cada término en sus factores primos

9a 3 x 2  3  3  a  a  a  x  x  1 18ax 2  3  3  2  a  x  x  1

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2. 3.

Determinar el factor común a ambos términos: 3  3  a  x  x  9ax Por tanto la factorización nos queda así:

2

9a 3 x 2  18ax 2  3  3  a  a  a  x  x  1  3  3  2  a  x  x  1   9ax 2 (a 2  2)
c) 1.

15 y 3  20 y 2  5 y
Descomponer cada término en sus factores primos

15 y 3  3  5  y  y  y  1 20 y 2  2 2  5  y  y  1 5 y  5  y 1
2. 3. Determinar el factor común a los tres términos: 5  y  5 y Por tanto la factorización nos queda así:

15 y 3  20 y 2  5 y  3  5  y  y  y  1  2  2  5  y  y  1  5  y  1   5 y (3 y 2  4 y  1)
EJERCICIOS Factorar o descomponer en dos factores 1. 4. 7. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

b  b2  5m 2  15m3  24a 2 xy 2  36 x 2 y 4  a ( x  1) b( x  1)  2 x(n  1)  3 y (n  1)  a 2  1  b(a 2  1) 

2. 5.

x2  x  x2 y  x2 z 
8.

3. 6. 9.

3a 2  a 2  9a 2 x  18ax3  x  x 2  x3  x 4 

a3  a 2  a 
11. 13. 15. 17. 19. 21.

x(a  1)  3(a  1)  x(a  1)  a  1  1  x  2(1  x)  (a  3(a  1)  4(a  1)  am  bm  an  bn  6ax  3a  1  2 x 

( x  y )(n  1)  3(n  1)  a 2  ab  ax  bx  x2 a2  x  a2 x 

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FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. El trinomio debe estar ordenado con respecto a una letra, ya sea en forma ascendente o descendente. 2. Observar que el tercer término del trinomio seapositivo (  ) (esto se hace una vez que el trinomio esta ordenado). 3. Investigar si el primer término y el tercer término son cuadrados perfectos. 4. Calcular el doble producto de las bases de los cuadrados perfectos y el resultado comparar con el término central, si son iguales entonces el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto. Por tanto es el desarrollo del cuadrado de un binomio.

EjemploFactorizar el siguiente trinomio 16 x  25 y  40 xy Solución:
2 2

1.

El trinomio debe estar ordenado con respecto a una letra, ya sea en forma ascendente o descendente

EJERCICIOS Factorizar o descomponer en dos factores. 1.

x2  2 x  1  121  198 x  81x 
6 12

2. 5.

a8  18a 4  81  400 x  40 x  1
10 5

3. 6.

1  a10  2a 5 
2b b 2 1   3 9

4.

7....