Estudiante

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE
YUCATAN
Facultad de Ingeniería

Algebra I

“Algebra Vectorial”

JORGE VALLEJO PEREZ
Licenciatura: Ing. Civil
Prof: Ing Roger H. Pech S.
Salón F-17 Grupo A

Fecha de entrega:
20/05/2011

Vectores y Escalares
Por vector entendemos una cantidad que se caracteriza por poseer magnitud, dirección y sentido y por escalar una cantidad que se caracterizasolo por poseer magnitud. Algunos ejemplos serian:
Vectores: el desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, intensidad de un campo magnético, etc…
Escalar: magnitud de un vector, distancia entre dos puntos, el área de una superficie, el volumen de un sólido, un número real, temperatura, etc…
Estos vectores pueden ser representados gráficamente mediante un segmento de recta. La magnitud delvector está dada por la longitud del segmento y la dirección la da el segmento mismo. El punto A se llama origen y el punto B se llama extremo
Igualdad de vectores.
Dos vectores ā y b̄ son iguales y lo denotamos ā=b̄ si y solo si ambos tienen igual magnitud, dirección sentido.
Suma vectorial
Sean ā y b̄ dos vectores de modo que el extremo de a coincide con el origen de b, entonces la suma sedenota como ā+b̄ es igual a un vector cuyo origen es el origen de ā y su extremo es el extremo de b̄
Propiedades de la suma vectorial
1.- Ley de la cerradura: Para dos vectores cualesquiera ā y b̄, su suma ā + b̄ es también un vector.
2.-Ley conmutativa: Para dos vectores cualesquiera ā y b̄ se cumple que ā + b̄ = b̄ + ā
3.- Ley asociativa: Para tres vectores cualesquiera ā, b̄ y c̄ secumple que ( ā + b̄ ) + c̄ = ā + ( b̄ + c̄ )
4.- Elemento idéntico: Definamos al vector nulo que se denota como 0 como un vector de magnitud cero y dirección y sentido arbitrarios. 0 es el elemento idéntico o neutro de la suma vectorial. ā + 0 = 0 + ā = ā
5.-Inversos aditivos: Asociado con cada vector ā definamos el vector opuesto como –ā como un vector de igual magnitud y direcciónpero de sentido opuesto.
Multiplicación de un escalar por un vector
Sea λ un escalar y ā un vector entonces el producto de λ y de ā que se denota λā es un vector tal que:
1.- La magnitud de |λā| de λā es |λ| veces la magnitud |ā| de ā, esto es |λā|=|λ||ā|
2.- La dirección de λā es la misma dirección de ā
3.- el sentido de λā es el mismo de ā si λ>0 y contrario al de ā si λ<0.
Propiedadesde la multiplicación por escalares
1.- Leyes distributivas:
a) Para todo par de escalares λ₁ y λ₂ y todo vector ā, se cumple que: (λ₁+λ₂)ā=λ₁ā+λ₂ā
b) Parar todo escalar λ y todo par de vectores ā y b̄, se cumple que: λ(ā+b̄)=λā+λb̄
2.- Ley asociativa: Para todo par de escalares λ₁ y λ₂ y todo vector ā, se cumple que: (λ₁λ₂)ā=λ₁(λ₂ā)
3.- Elemento idéntico: Para λ=1 y todo vector ā, se cumpleque: λā=ā
Aplicaciones geométricas
El concepto de vector, sus principales operaciones y sus propiedades básicas, nos permiten demostrar ciertos teoremas de la geometría elemental.
Ejemplo: Demostrar vectorialmente que al unir consecutivamente los puntos medios de un cuadrilátero, se obtiene un paralelogramo.
Sea ABCD un cuadrilátero y P, Q, R, S los puntos medios de sus lados. Demostrar quePQRS es una paralelogramo.
PQ =PB + PQ = ½(AB) + ½(BC) = ½(AB+BC)
RS = RD + DS = ½(CD) + ½(DA) = ½(CD + DA)

Sumando miembro a miembro tenemos:
PQ + RS = ½(AB + BC) + ½(CD + DA)
=½(AB + BC + CD + DA)
=½(0) = 0
Asi PQ=-RS; ahora siendo PQ y RS vectores opuestos entonces en partículas tienen igual dirección de donde PQ||RS. Análogamente se ve que QR||SP de dondePQRS es un paralelogramo
Ecuación vectorial de una recta
Sean A y B dos puntos en el espacio y consideremos el problema de obtener la ecuación vectorial de la recta AB y se P un punto cualquiera de la recta. Para los vectores señalados en el diagrama, consideremos las relaciones siguientes:
Hagamos OA = a, OP = r y OB = b
Tenemos AP = λAB para algún escalar λ
Ahora OB = OA + AB
De donde...