Estudiante

8. Flexión Asimétrica (Biaxial) de Vigas 8.1 Introducción En esta sección, el análisis de la flexión en elementos-vigas, estudiado en las secciones precedentes, es ampliado a casos más generales. Primero, se considera el caso de la flexión asimétrica o inclinada (biaxial) de vigas prismáticas con secciones transversales doblemente simétricas. Luego, empleando el método de superposición, se tratala flexión elástica con cargas axiales. A continuación, se estudia la flexión inelástica con fuerzas axiales en secciones doblemente simétricas. Luego, se analiza la flexión elástica en vigas prismáticas de sección transversal arbitraria. Para tratar este tema se establecen las ecuaciones básicas para los momentos y productos de inercias de áreas, seguido por las ecuaciones para los ejesprincipales de inercia. Usando estas ecuaciones, se establecen las ecuaciones generales para determinar las tensiones de flexión elástica lineales en vigas de sección transversal arbitraria.

8.2 Flexión Asimétrica en Secciones transversales Doblemente Simétricas. Como un ejemplo de flexión pura asimétrica o inclinada, considere la viga rectangular mostrada en la Fig. 18. Basado en la figura se cumple losiguiente: • • Los momentos de flexión M aplicados actúan en forma normal al plano abad Momento de flexión M tiene dos componentes: M z y My

Fig. 18. Flexión asimétrica o inclinada de una viga con sección transversal doblemente simétrica

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Debido a la doble simetría de la sección transversal, las fórmulas obtenidas en las secciones precedentes son directamente aplicables para el caso enestudio. Debido a la simetría, el producto de inercia para esta sección es cero y los ejes ortogonales mostrados son los ejes principales de la sección transversal. Suponiendo un comportamiento lineal-elástico de un material homogéneo, una superposición de las tensiones normales debido a Mz y My entrega la distribución de las tensiones normales que actúan en la sección de la viga. Porconsiguiente, aplicando la fórmula de Navier para ambos ejes, se obtiene lo siguiente

σx = −

M Mz y+ y z Iz Iy

(33)

donde un momento Mz positivo genera fibras traccionadas para y < 0 y un momento My positivo genera fibras traccionadas para z > 0. Una ilustración gráfica de la superposición de las tensiones normales, representada en la Ec. (33), se muestra en la Fig. 19.

Fig. 19. Superposiciónde las tensiones normales elásticas de flexión

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Se debe notar de la Fig. 19, que la línea de tensión cero (eje neutro) forma un ángulo β con el eje z. Analíticamente, tal eje puede determinarse haciendo igual a cero la tensión σx dada por la Ec. 33. Entonces,

−

My Mz y+ z=0 Iz Iy y M yIz = = tan β z M zIy

(34a)

(34b)

En general, M y = Msinα y M z = Mcosα, la Ec. (34b) sereduce a tan β = Iz tan α Iy

(34c)

Por lo general, los ángulos a y β no son iguales, a menos que Iy = Iz , o α sea igual a 0º o 90º. Los resultados obtenidos en esta sección pueden generalizarse a elementos con secciones transversales arbitrarias, siempre que la flexión sea en torno a los ejes principales. Considerar un elemento elástico homogéneo con una sección transversal arbitraria,flexionada con respecto al eje z, que es un eje principal (Fig. 20).

Fig. 20. Sección arbitraria sometida a flexión respecto a un eje principal

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La distribución de tensiones normales en la sección está dada por la ecuación de Navier, σx = -Mz y/Iz. Si esta distribución de tensiones no causa un momento de flexión My en torno al eje y, esta es la solución correcta del problema. Por lo tanto, M y= ∫ σ x dAz = ∫ −
A A

M Mzy zdA = − y Iz Iz

∫ yzdA = 0
A

∫ yzdA = 0
A

(35a)

(35b)

La Ec (35b) se cumple si el producto de inercia se calcula con respecto a ejes principales. Por lo tanto, la Ec. (33) puede utilizarse en secciones transversales arbitrarias, siempre que se utilicen los ejes principales de la sección.

Ejemplo: Para la viga de madera de 100×150 mm mostrada...