estudiante

Cap´ıtulo 0
Introducci´
on al An´
alisis Num´
erico

1.

Origen y desarrollo del An´
alisis Num´
erico

El An´alisis Num´erico es una parte importante de la matem´atica aplicada que estudia procedimientos para obtener soluciones aproximadas a problemas matem´aticos originados en distintas
ramas de la ciencia. A estos procedimientos que permiten llegar a dichas soluciones aproximadasse les llama m´etodos num´ericos.
Las ra´ıces del An´alisis Num´erico se remontan a trav´es de los siglos, aunque tiene entidad
propia desde mediados del siglo XX. En sus inicios, el An´alisis Num´erico no fue una rama
independiente de la Matem´atica; m´as bien al contrario, la mayor´ıa de las demostraciones de
existencia de soluci´on eran de tipo constructivo. La Matem´atica erafundamentalmente num´erica, es decir, se pretend´ıa estudiar problemas concretos de la f´ısica, astronom´ıa, etc.. Es por ello
que no resulta extra˜
no que grandes matem´aticos como Euler, Lagrange, Newton, Gauss, ...
hayan hecho importantes contribuciones en el campo del An´alisis Num´erico. Posteriormente,
sobre todo en los u
´ltimos siglos con el desarrollo del C´alculo Infinitesimal, y despu´es afinales
del siglo XIX y principios del XX fue creciendo el gusto por la perfecci´on del razonamiento, la
generalizaci´on, las demostraciones por reducci´on al absurdo, etc., en detrimento del desarrollo
de los procedimientos constructivos utilizables en la pr´actica para hallar soluciones aproximadas
de los problemas planteados. Desde luego que esta etapa fue enriquecedora para lasmatem´aticas en general, pero no as´ı para los aspectos num´ericos. No obstante, cuando parec´ıa que las
matem´aticas hab´ıan olvidado cualquier matiz constructivo, surgieron los primeros ordenadores,
los cuales devolvieron a los matem´aticos la esperanza de poder construir las soluciones de los
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Cap´ıtulo 0. Introducci´on al An´alisis Num´erico

problemas. Fue entonces cuando naci´o lo quehoy denominamos An´alisis Num´erico.
Desde luego que hay razones objetivas para justificar ese desinter´es que durante siglos hubo
por los procedimientos num´ericos. As´ı, resulta comprensible que el matem´atico mirase con cierta
distancia m´etodos que, si bien pod´ıan conducir a soluciones aproximadas de muchos problemas
matem´aticos, supon´ıan en ocasiones una enorme cantidad de c´alculos.Fue precisamente el
desarrollo espectacular que comenzaron a experimentar los instrumentos de c´alculo, con la
aparici´on de los ordenadores, y su posterior uso generalizado, lo que, no s´olo elimin´o esta
dificultad, sino que adem´as fue favoreciendo gradualmente un desarrollo muy importante del
An´alisis Num´erico. La fase inicial de este desarrollo se podr´ıa situar a principios de los a˜nos
cincuenta y ha continuado hasta nuestros d´ıas, siendo hoy una de las ramas m´as importante de
la Matem´atica y, desde luego, una de las de m´as actualidad.
Al proceso consistente en representar mediante un modelo matem´atico un problema de
cualquier rama de la ciencia se le conoce con el nombre de matematizaci´
on. En este proceso
existen dos tipos de estrategias generales:
(a) Sepueden considerar hip´otesis que simplifiquen la complejidad del fen´omeno estudiado y
as´ı conseguir una m´as f´acil formulaci´on matem´atica. (De esta forma se procedi´o tradicionalmente hasta que se cont´o con las t´ecnicas num´ericas).
(b) Se puede intentar llegar a una formulaci´on matem´atica que represente al problema real
considerado lo m´as fielmente posible. En este caso elinconveniente es que, en general, no
se podr´a obtener una soluci´on exacta del problema. Es aqu´ı donde el An´alisis Num´erico
nos proporcionar´a soluciones aproximadas del problema en cuesti´on.

Problema
real

Hip´otesis
simplificadoras

=⇒

Soluci´on
exacta

Sin hip´otesis
simplificadoras

=⇒

Soluci´on
aproximada

=⇒

En ocasiones no podremos obtener la soluci´on exacta de un...