estudiante

1.1. Evaluación de Determinantes de 2x2 y 3x3:
a) Si es una matriz de 2x2, se llama determinante de A al número y se denota por det(A) ó .


b) Dada la matriz A3x3, se tiene que ++---

Así,

O, suele usarse la Regla de Sarrus que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos.
(Para los 3 productos positivos)

( Para los 3 productosnegativos)

Ejemplo: Evaluar los determinantes:


2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta.

2. Si en un determinante se intercambian dos filas o dos columnas entre sí, éste cambia de signo.

Por ejemplo:

3. Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un mismo número, el determinante quedamultiplicado por dicho número.

4. Si todos los elementos de una fila o columna de A son nulos, el determinante también lo es.
5. Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, su valor es cero.
6. Si un determinante tiene dos filas o columnas proporcionales, su valor es cero.

7. Si una columna de una matriz se descompone como suma de dos sumandos, su determinante puededescomponerse en la suma de dos determinantes, de la siguiente manera:
Si entonces
8. Si una fila o columna es combinación lineal de otras, el determinante es nulo.
9. Si A es una matriz triangular nxn (superior, inferior o diagonal), entonces es el producto de los elementos de la diagonal principal; es decir,
10. Si Anxn y k es un escalar.
11. . Suele no ser igual.
12. Si A y B son matricescuadradas, entonces:

3. CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EL MÉTODO DE GAUSS
Conocemos como método de Gauss a un procedimiento que permite facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. El mismo consiste en hallar un DETERMINANTE TRIANGULAR SUPERIOR equivalente al que se pretende calcular. De esta forma, el problema se reduce a deducir un determinante de una matriz triangular.Para triangular el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones elementales:
Intercambiar dos filas o columnas: El determinante cambia de signo.
Multiplicar o dividir una fila o columna por un número no nulo: El determinante queda multiplicado o dividido por dicho número.
Sumarle o restarle a una fila o columna un número diferente de cero: El determinante no varía.

Ejemplo:Evaluar , donde:
Ejemplo: Evaluar , donde:

4. DESARROLLO POR COFACTORES
4.1. Menores y Cofactores: Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij se denota por Mij y se define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar la i-ésima fila y j-ésima columna de A. El número (-1)i+jMij se denota por Cij y se denomina cofactor del elemento aij.
Ejemplo: Sea ,determinar el menor y el cofactor de a11 y a32

Observar que el cofactor y el menor de un elemento aij sólo difieren en el signo; es decir, . Una manera rápida para determinar si se usa el signo + o el signo – es aplicar el hecho de que el signo que relaciona Cij con Mij está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna del arreglo en forma de tablero:




4.2. Desarrollo por Cofactores:Considerar la matriz general 3x3

++---
la cual se puede volver a escribir como

Debido a que las expresiones entre paréntesis son justamente los cofactores C11, C21 y C31, se tiene que

Esta forma de evaluar se denomina desarrollo por cofactores.
Ejemplo: Sea , evaluar por desarrollo por cofactores a lo largo de la primera columna.

Teorema: El determinante de una matriz Anxn se puedecalcular multiplicando los elementos de cualquier fila (o de cualquier columna) por sus cofactores y sumando los productos resultantes; es decir, para cada y , se tiene que
(Desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna)
(Desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila)


Ejemplo: Sea , evaluar por desarrollo por cofactores a lo largo de la primera fila.

NOTA:...