estudiante

Matrices

CAPÍTULO 1
MATRICES
 INTRODUCCIÓN
 DEFINICIÓN

Y OPERACIONES



SUMA



PRODUCTO



ESPACIO VECTORIAL

DE MATRICES
DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
DE LAS MATRICES




PRODUCTO

DE ELEMENTOS DE



PRODUCTO

DE MATRICES

 MATRICES
 MÉTODO

n

CUADRADAS

DE

GAUSS

PARA MATRICES



TRANSFORMACIONES



MATRICESELEMENTALES



INVERSA

POR FILAS

DE UNA MATRIZ

 EJEMPLO


TRANSFORMACIONES



RANGO

 TEOREMA

DE

POR COLUMNAS

DE UNA MATRIZ

ROUCHÉ-FROBENIUS

 MATRICES EQUIVALENTES


EJEMPLO

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Matrices

INTRODUCCIÓN
Las matrices son simplemente estructuras (en general n-dimensionales) que
permiten almacenar objetos a los que se tiene acceso mediante índicespredefinidos.
En nuestros días son innumerables las aplicaciones de las matrices y entre ellas
cabe señalar el almacenamiento de datos, la economía o los gráficos por ordenador.
Las matrices, tal como las utilizamos en la actualidad son un concepto
relativamente reciente: el primero en utilizar el término matriz fue James Joseph
Sylvester (1814-1897) en 1850, aunque sería Arthur Cayley (1821-1895)quien
comprendería su importancia y en 1853 publicó una nota dando, por primera vez, la
inversa de una matriz.
A pesar de esto se pueden encontrar precedentes en el siglo IV antes de Cristo, su
origen data del siglo segundo antes de Cristo y surgen a partir del estudio de los
sistemas de ecuaciones lineales. En un texto escrito durante la dinastía Han (entre
el 200 y el 100 A.C.) el autor seplantea un problema (que es realmente un sistema
de ecuaciones lineales), coloca los coeficientes en las columnas de una “tabla” y va
restando unas columnas de otras (para hacer ceros) y así obtener la solución. Este
procedimiento, ahora conocido como método de Gauss no llegó a ser habitual hasta
el siglo XIX.
Nosotros

utilizaremos

matrices

bidimensionales

de

números

realescomo

herramienta para representar y manejar prácticamente todos los objetos del
álgebra lineal, simplificando la notación y facilitando las operaciones. Como
ejemplo, las operaciones elementales que, no sólo se aplicarán también a matrices,
sino que serán representadas por otras matrices, dando un método para el cálculo
de la inversa de una matriz. Se ampliará el concepto de rango y sereformulará el
teorema de Rouché-Frobenius en términos de matrices.
Se estudia, por último el concepto de matrices equivalentes y forma normal de una
matriz, que será aplicado en el capítulo de aplicaciones lineales

2

Matrices

MATRICES: DEFINICIÓN
Una matriz A  m n de números reales de dimensión  m  n  , se define como una
ordenación, u organización, de  m  n  números. Estaorganización consiste en situar los
números en m filas y n columnas. Se define entonces un elemento general aij de la
matriz como el número real que está situado en la fila i-esima de la columna j-esima. A
la matriz en general se la designa como  aij  , o también a veces por una letra mayúscula
como por ejemplo A   aij  . Además la matriz está representada en la pantalla como

 a11
a21
A   aij   
 ...
 a
 m1

a12
a22
...

am2

... a1 n 

... a2 n 
... ... 

... amn 

m n , es como se designa al conjunto de todas las matrices de dimensión  m  n  .

SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A,B  m n , se define la suma de ambas matrices

 a11

a21
A  B  aij    aij   
 ...

 am1
 a11

 a21


 am 1

b11

 b21
...
 bm1

a12
a22
...

am2

... a1 n   b11
 
... a2 n   b21

... ...   ...
 
... amn   bm1

a12  b12
a22  b22
am2

...
 bm2

b12
b22
...

bm2

... b1 n 

... b2 n 

... ... 

... bmn 

... a1 n  b1 n 

... a2 n  b2 n 

...
...

... amn  bmn 

Es fácil demostrar que, al igual que sucede con la suma...