Estudiante

AJUSTE POLINOMIAL DE CURVAS
Dentro de las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales existe:
Ajuste Polinomial de curvas:
Suponga que tiene dados n puntos en el plano xy; x1,y1, x2,y2……… xn,yn y se pide encontrar una función Polinomial:
px=a0+a1x+a2x2+a3x3+. . . .. .. +an-1xn-1 de grado n-1 cuya grafica pasa por los puntos dados. Se puede demostrar que si todas las abscisas de los xpuntos son diferentes, habrá precisamente una función Polinomial de grado menor o igual n-1 que se ajusta a los n puntos tal como:

Para determinar los n coeficientes de p(x), cada uno de los n puntos se sustituyen en el polinomio y se obtienen n ecuaciones lineales en las variables a0+a1+a2+a3+. . . .. .. y +an-1:
a0+a1x1+a2x12+a3x13+. . . .. .. +an-1x1n-1=y1
a0+a1x2+a2x22+a3x23+. . . .... +an-1x2n-1=y2
.
.
.
a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+. . . .. .. +an-1xnn-1=yn
Y el polinomio resultante se lo llama polinomio de interpolación
1. Polinomio de Interpolación de Lagrange.
La función Polinomial asociada al polinomio de minino grado, que se ajusta a los n puntos dados, tal todas las abscisa sean diferentes, se puede calcular mediante la fórmula de Lagrange:
p(x)=i=1n{j=1nx-xjxi-xj}p(xi)
x1,y1, x2,y2,(x3,y3)…
Tomando estos puntos de referencia la formula quedaría expresada de esta manera:
P(x) = x-x2x-x3x1-x2x1-x3y1+x-x1x-x3x2-x1x2-x3y2+x-x1x-x2x3-x1x3-x2(y3)+. . . . . . .
2. MATRIZ DE VANDERMONDE
Esta matriz no es mal que la determinación de un sistema de ecuaciones lineales de las variables existentes en nuestro polinomio, es decir la sustitución de los puntos enel polinomio y su representación como una matriz aumentada.
a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+. . . .. .. +an-1xnn-1=yn

a0a1a3 ….a0a1a3….a0a1a3…. y1y2yn

Ejemplos de aplicación.
1. Determine el polinomio cuya grafica pasa por los puntos: A(1,3),B(2,0),C(5,9)
Primero el polinomio buscado será: P(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3
Segundo se plantea las ecuaciones:
A(1,3) : a0+a1+a2=3
B(2,0): a0+2a1+4a2+=0C(5,9): a0+5a1+25a2=9
Ahora formaremos la matriz aumentada o matriz de:
1111241525 409
Resolviendo por eliminación continua:
13-44245
1221
Entonces a2=74
Y reemplazando el resto de valores serán:
a1=-374 , a0=232
Entonces nuestro polinomio es: P(x)= 232-374x+74x2
Su grafica es:
(5, 9)
(5, 9)

(1, 3)
(1, 3)

2. Halle el polinomio que se ajuste a los siguientes puntos:
A(-2,1),B(0,-1),C(2,3),D(4,2),
Hallaremos este polinomio aplicando la fórmula de Lagrange; el polinomio que hallaremos es: P(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3
Al aplicar la formula se obtiene P(x), por partes, conforme se desarrolle el ejercicio se entenderá de mejor manera.
A(-2,1),B(0,-1),C(2,3),D(4,2)
Aplicando la fórmula:
1. P(x)=x-2-2+2 *x-0-2-0 *x-2-2-2 *x-4-2-41
2. P(x)=x-20+2 *x-00-0*x-20-2 *x-40-4-1
3. P(x)=x-22+2 *x-02-0 *x-24-2 *x-44-03
4. P(x)=x-24+2 *x-04-0 *x-24-2 *x-44-42
Debe tomarse en cuenta que no se elimina en caso que nos quede00 simplemente se suprime:
Realizando las diversas operaciones nos queda:
1. P(x)=-x3-6x2+8x48
2. P(x)=-x3+4x2+4x+1616
3. P(x)=-3x3-6x2-24x16
4. P(x)=-x3+4x24
Obtenidas ya las cuatro partes de nuestro polinomio sumamoslas mismas y nuestros polinomio será:
P(x) = -x3-6x2+8x48+-x3+4x2+4x+1616+-3x3-6x2-24x16+-x3+4x24
P(x)=-x3-6x2+8x+3-x3+4x2+4x+16+3-3x3-6x2-24x+2(-x3+4x)48
P(x) =-15x3+24x2+60x-4848
Su grafica es:


3. Encuentre el polinomio que se ajuste a los puntos:

A(2,-3),B(-1,5),C(0,1),D(1,4),E(2,10)
El polinomio a buscarse será P(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4
Planteo deecuaciones:
A(-2,-3): a0-2a1+4a2-8a3+16a4=3
B(-1,5): a0-1a1+a2-a3+a4=5
C(0,1): a0 =1
D(1,4): a0+a1+a2+a3+a4=4
E(2,10): a0+2a1+4a2+8a3+16a4=10

1-24-81631-11-11511111410000112481610
Resolviendo por eliminación continua:
1-37-1523-39-1512-48-16-2401607

6-1230-52-614-612-1260-1
-1224-2672054
-17281224
a4=-1724
Resolviendo los otros valores...