Estudiante

4. CÁLCULO DE TRAYECTORIAS:
4.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES:

Las soluciones de una ecuación diferencial forman un haz de curvas. A menudo nos interesa hallar la familia de curvas que las cortanperpendicularmente, que llamaremos trayectorias ortogonales.
Para ello partimos de la ecuación diferencial:

nos da una relación entre las coordenadas de un punto y la tangente en dicho punto de lacurva solución. Supongamos que es posible despejar 
. En tal caso:

Y por tanto la ecuación diferencial del haz de trayectorias ortogonales es:

En el caso de partir de la solución general, se debederivar 
respecto de 
y eliminar 
entre ambas ecuaciones.
Ejemplo:

Derivamos:

Operamos:

Luego la trayectoria ortogonal es:

Si dibujamos en azul las curvas originales y en rojo lasortogonales, veremos que son respectivamente curvas parabólicas de orden 3 y elipses.
Hay que recordar que si no es posible despejar 
siempre podemos cambiar 
por 
e intentar despejar 
4.2.TRAYECTORIAS OBLICUAS:
También puede suceder que lo que nos interese sea hallar la familia de curvas que cortan a una dada con un determinado ángulo. En tal caso hay que recurrir a la formula de suma detangentes:

Si 
entonces el proceso para resolver el problema es:

Ejemplo:

Derivamos:

Operamos:

Que es homogénea.
Si solo hay una variable independiente (
) la ecuación diferencial esordinaria. Si no es así, entonces es una ecuación diferencial en derivadas parciales.

es el grado de la ecuación.
Llamado "Método de Variación de Constantes"
La solución de la ecuación general es lasuma de la solución de la ecuación homogénea más una solución particular de la ecuación general
Pues por ser 
solución particular se verifica que: 
Pues siempre se verifica que 
Los ejercicioscorrespondientes a este apartado se sitúan bajo el rótulo “General Paramétrico”
Descartamos que 
, ya que eso haría: 
, que no es solución.
Por sencillez obviaremos el término 
y representaremos...