Estudiante

Área entre 2 curvas

Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones [pic] y [pic], las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a,b]. Si las graficas están sobre el eje x y la grafica [pic] esta debajo de la grafica [pic], se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las graficas, es decir restar el área de la funcion [pic] alárea de la función [pic], esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos. 

Definición

Si [pic] y [pic] son continuas en [a,b] y [pic] ≤ [pic] para todo x en [a,b], entonces el area de la región acotada por las graficas [pic] y [pic] y las rectas verticales [pic] y [pic] es

▪ [pic]


[pic]
Área de una región entre dos curvas que se intersecan

Se utiliza el mismométodo, con excepción que aquí los intervalos se buscan, ya que como intervalos se utilizan los puntos donde se intersecan las graficas. Hay veces que las graficas se intersecan mas de 2 veces y de aquí sale que se sumas las 2 regiones, sin importar que grafica pase arriba o abajo, ya que para eso solo se utiliza la misma lógica de [pic] ≤ [pic] o [pic] ≤ [pic] y de esa forma se tendrá los 3intervalos, uno para [a,b] y otra para [b,c]. 

▪ [pic]


[pic]

Si la grafica de una función de y es una frontera de una region, es a menudo conveniente usar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área integrando en la variable y. En general, para determinar el área entre dos curvas, se usan

▪ [pic]
▪ [pic]

Donde (x1, x2) y (y1 , y2) son los puntos adyacentes deintersección de las dos curvas implicadas o puntos sobre las rectas de la frontera especificadas.



Ejemplo # 1
Encontar el área de la región:

▪ [pic]
[pic]



Solución
Como se observa en la figura nuestra función de arriba es [pic] y la de abajo es [pic] por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde [pic] donde [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

▪ [pic]
Ejemplo # 2Encontrar el área de la región:

[pic]

[pic]
Solución
Como se muestra en la figura la función de arriba es [pic] y en la parte de abajo es [pic] por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde [pic] donde [pic]

[pic]
[pic]

▪ [pic]


Ejemplo # 3
Calcule el área dela region definida por las parábolas:

[pic]
[pic] 

[pic]

Solución

Ecuacion de la parabola:

[pic]completamos al cuadrado

[pic]

[pic]

[pic]

igualamos las ecuaciones para encontrar las intersecciones:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

ó 

[pic]

[pic]

ó 

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] [pic]



Ejemplo # 6

Calcule el área dela región definida por:

[pic]
[pic] 

[pic]



[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

utilizamos el Teorema Fundamental delCalculo

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

--Juliocm 20:40 30 sep 2009 (CST)


Ejemplo # 4

Calcule el área dela región definida por:

[pic]
[pic] 

[pic]



Solución

Igualamos las ecuaciones para encontrar los intervalos en que crece el área delimitada:
tomamos |x| como positivo por ser el valor absoluto de |x|:

[pic]

[pic]

factorizamos utilizando el metodo cuadratico:[pic]

[pic]

pero como la recta de la que depende el área es |x| (el valor absoluto de x) es positiva evaluamos en 0, y los intervalos nos qudan: [pic]

Ahora evaluamos el área sub i [pic]

[pic]

Ahora para aproximarnos mas al área evaluamos el límite:

[pic]

Ahora calculamos la integral:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]Volumenes



http://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf

















































Longitude de arco


Si la curva es un polígono, es fácil determinar su longitud; simplemente sumamos las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el polígono. (Para la distancia entre los...