Estudiante

♥Diferencias de cuadrados •

Diferencia" se le dice a la resta Entonces, "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados. Es decir, "dos cuadrados que están restándose".
Por ejemplo, en x2 - 4, tenemos al cuadrado x2 que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son"cuadrados".
El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo…
Por ejempló:

Diferencia de cuadrados: Se obtiene multiplicando la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, ósea:
(a+b) (a-b) = a2- b2
La diferencia de cuadrados es la identidad algebraica
x2−y2=(x−y)(x+y)
la cual permite lafactorización instantánea de la expresión algebraica que presenta su estructura.
Instancias de uso:
1) Factor izar la expresión algebraica 64−x2
Respuesta: (8−x)(8+x)
2) Factor izar la expresión algebraica x2−(x+1)2
Respuesta: (x−x−1)(x+x+1)=−(2x+1)
3) Factor izar la expresión algebraica (x+2)4−(x−2)4
Respuesta: [(x+2)2−(x−2)2][(x+2)2+(x−2)2]
Ejercicio: Factorizar la expresión algebraica900(a2−2ab+b2)2−225(a2+2ab+b2)2

Cuando tenemos una potencia elevada a otra potencia, podemos multiplicar los exponentes. Por ejemplo: (x3)2 es igual a x3.2, lo que es igual a x6. Multipliqué los exponentes ("dos por tres"), usando una propiedad a la que llaman Potencia de Potencia. Entonces, por la misma razón, puedo hacer lo contrario: Si tengo una potencia como x6, puedo dividir el 6 por 2(que dá 3), y así concluir que x6 es igual a (x3)2.
Así, pude expresar a x6 como un cuadrado: como x3 al cuadrado. Esto lo puedo hacer siempre que la potencia sea un número par. Porque solamente a los números pares los puedo dividir por 2 y que me dé un número natural ("sin coma"). Por eso, sólo a las potencias pares las puedo ver como cuadrados para este tema. 
Si tratara de hacerlo con unexponente impar, me quedaría un exponente que no es un número natural. Por ejemplo: x5 es igual a (x2,5)2. Es verdad que pude escribir al x5 como cuadrado, pero es cuadrado de una potencia con exponente decimal o fraccionario (2,5 o 5/2). Eso no sirve para este tema, porque los polinomios deben tener sus potencias con exponentes naturales (0, 1, 2, 3, 4, etc.), por definición.
En este ejemplo, uno delos "cuadrados" es una potencia distinta de 2. Es una potencia 6. Pero 6 es un número par. Es igual a "2 por 3". Entonces x6 se puede escribir como (x3)2. Ya que, por la propiedad llamada Potencia de Potencia, (x3)2 es igual a x3.2=6 (se multiplican los exponentes). De esta manera, pudimos escribir a x6 como "algo al cuadrado", como x3 al cuadrado. Entonces, podemos decir que x6 "es un cuadrado".Es el cuadrado de x3.
Lo mismo puedo hacer con cualquier potencia par. Ya que cualquier número par es igual a "2 por algo". Y entonces puedo escribirlo como una potencia de potencia, con el 2 afuera, por lo termina siendo un cuadrado (¿otra manera de pensarlo?). Por ejemplo:
4 es igual a 2 por 2. Entonces, a x4 lo puedo escribir como (x2)2, ya que es igual a x2.2=4 , por la mencionada propiedadPotencia de Potencia. Entonces, x4 es el cuadrado de x2.
10 es igual a 2 por 5. Entonces, a x10 lo puedo escribir como (x5)2, ya que es igual a x5.2=10. Entonces, x10 es el cuadrado de x5.
8 es igual a 2 por 4. Entonces, a x8 lo puedo escribir como (x4)2, ya que es igual a x4.2=8. Entonces, x8 es el cuadrado de x4.
Y lo mismo podemos hacer con cualquier potencia par. Es decir que cualquierpotencia par es un cuadrado. Y por la misma razón, para que una potencia sea cuadrado, debe ser una potencia par. Estas dos afirmaciones son recíprocas (una dice lo inverso de la otra), y se pueden demostrar. Pero como siempre: eso no es tema de esta página. Lo que quiero decir es que la explicación anterior responde también a la pregunta ¿por qué para que una potencia sea cuadrado debe ser una...