Estudiante

Matríz cuadrada
Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada:

Puede ser una matriz con valores

O también una matríz con subíndices (Genérica)

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos .
Se llama diagonal secundaria a ladiagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos y , como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices suman (n+1), por ejemplo , donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.
Matriz Simétrica
Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.
Matriz Antisimétrica
Una matriz es antisimétrica cuando es una matrizcuadrada, y es igual a la opuesta de su traspuesta.
Matriz Ortogonal
Una matriz ortogonal es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.
Matriz Normal
Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)
Matriz simétrica
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Una matriz essimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.

Una matriz de elementos:

es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y para todo i distinto de j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.
Ejemplo para n = 3:

A es también la matriz traspuesta de sí misma: . Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica.Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas.

Propiedades
Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En particular, es semejante a una matriz ortogonal.
Matriz antisimétrica
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Una matrizes antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a la opuesta de su traspuesta.
Una matriz de mxn elementos (m = filas, n = columnas) :

es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:

Ejemplo
= >

La diagonal principal se conserva y todos los otrosnúmeros son cambiados de signo al opuesto.
Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimetrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.
Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre sera 0.
Matriz normal
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Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

donde A* es la matriz traspuesta conjugadade A (también llamado hermitiano)
Índice * 1 Ejemplos * 2 Propiedades * 2.1 Demostración * 3 Véase también * 4 Enlaces externos |
Ejemplos
Esta matriz de orden 2 es normal.

debido a que ..

Propiedades
Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.
Demostración
Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando ladescomposición de Schur, de esta manera:

Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior. Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:
* (1)
* (2)
* ...
* (n-1)

Usando el hecho que A es normal:

Idénticamente.

Postmultiplicando por y luego premultiplicando por obtenemos:
Locual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:

Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.

Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)
* Caso i=1:

Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.

Usando (1)

Por lo tanto,
Definición...