Estudio Analitico De Las Conicas

CÓNICAS
ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS
Definición:
Cónica es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya razón de distancias a un
punto fijo (que llamaremos foco) y a una recta fija (que llamaremos directriz) es
constante.
A dicha constante le llamaremos excentricidad y se designa por e, verificándose que:
„ Si e<1, la cónica es una elipse.
„ Si e=1, la cónica es una parábola.
„ Si e>1,la cónica es una hipérbola.
Busquemos la ecuación de la cónica para el foco F(c,0) y de directriz r ≡ x =

a2
,
c

c
:
a
Para un punto P(x,y) del plano se tiene que cumplir:

siendo e =

d ( P, F )
d ( P, r )

=e⇔

( x − c)

2

+ ( y − 0)

x−

a2
c

2

2

c
a2
2
2
c
= ⇔ ( x − c) + ( y − 0) =   x −
a
c
a

2

a 2 ( x 2 − 2cx + c 2 + y 2 ) = c 2 x 2 − 2ca 2 x + a 4 c 2 ⇔ ( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ) (*)
Discusión: "Ecuaciones canónicas"
c
1. Si a>c ⇔ e = < 1 , llamaremos b2=a2-c2 y su ecuación (*) se reduce:
a
b2 x 2 + a 2 y2 = a 2 b2 ⇔

2. Si a
x 2 y2
+
=1
a 2 b2

c
> 1 , llamaremos b2=c2-a2 y su ecuación (*) se reduce:
a
− b 2 x 2 + a 2 y 2 = −a 2 b 2 ⇔

x 2 y2
−
=1
a 2 b2

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CÓNICAS

3. Si a=c la directriz pasaría por elfoco y tendríamos un caso particular en el cual
la cónica se reduciría a una recta doble.
Tomaremos otros ejes: sea el foco F(p/2,0) y la directriz x=-p/2, entonces
2

d ( P, F )
d ( P, r )

=e⇔

p
2

2
2
 x −  + ( y − 0)
2
p
p
2


= 1 ⇔  x −  + ( y − 0) = x +
p
2
2

x+
2

y 2 = 2px

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2

CÓNICAS
LA ELIPSE
2

x
y2
+
= 1 , entonces:
a 2 b2
Vértices: A(a,0);A’(-a,0); B(0,b); B’(0,-b).
Semieje mayor: a; semieje menor: b.
Focos: F(c,0); F’(-c,0).
Directrices: x=a2/c; x=-a2/c.
Ejes de simetría: x=0; y=0
Centro: O(0,0) punto de intersección de los ejes de simetría.
Distancia focal: d(F,F’)=2c.
Parámetro focal: p=b2/a.

Sea la elipse de ecuación reducida
•
•
•
•
•
•
•
•

P(c,b2/a)
p
c

F’

F

• Radios vectores: distancia de un punto P(x,y) cualquiera de lacónica a los focos.
d ( P, F ) PF
a2
a2
e=
=
⇒ PF = ePD = e
− x = a − ex y PF' = ePD ' = e
+ x = a + ex .
d ( P, r ) PD
c
c

P(x,y)

F’

x

F

Teorema de Dandelin:
La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al
doble de su semieje mayor.
Demostración:
Para cualquier punto P de la elipse y si r y r’ son las directrices de la elipse,
d(P,r)=d(P;D)=PD;d(P,r’)=d(P;D’)=PD’.

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CÓNICAS

P

D’
F’

e=

d ( P, F )
d ( P, r )

=

D
F

PF PF' PF + PF' PF + PF' PF + PF' c
=
=
=
=
= ⇒ PF + PF' = 2a
PD PD ' PD + PD '
DD '
a
a2
2
c

La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al
doble de su semieje mayor.
Si P’ es un punto interior a la elipse resulta: P ' F + P ' F' < PF + PF' = 2a .
Si P’’ es unpunto exterior a la elipse resulta: P '' F + P '' F ' > PF + PF ' = 2a .
Luego la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican el teorema
de Dandelin.
Definición:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los
focos es constante.
Ecuación de la recta tangente a la elipse por uno de sus puntos:
x 2 y2
b 2
a − x2
De la ecuación de laelipse 2 + 2 = 1 ⇒ y = ±
a
a
b
b
−x
y su función derivada ⇒ y ' =
,
a a2 − x2
b −x 0
b2 x
=− 2 0 ,
en el punto P(x 0 , y0 ) de la elipse ⇒ y '(P) =
a a 2 − x 02
a y0

de donde la ecuación de la recta tangente, en la forma punto-pendiente es:
y0 y − y0 2
x 0 x − x 02
x 0 x y0 y x 0 2 y0 2
b2 x 0
y − y0 = − 2
(x − x 0 ) ⇒
=−
⇒ 2 + 2 = 2 + 2
a
b
a y0
b2
a2
a
b
x 0 2 y0 2
y teniendo en cuenta que por serP un punto de la elipse verifica 2 + 2 = 1 resulta:
a
b
x 0 x y0 y
+ 2 =1 .
a2
b

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CÓNICAS
Ecuación de la recta normal a la elipse:

b2 x 0
(x − x 0 ) podemos obtener la recta
a 2 y0
perpendicular en el punto de tangencia, sin más que sustituir la pendiente por la opuesta
a 2 x b2 y
a2 y
+
= b2 − a 2
de la inversa y − y0 = 2 0 (x − x 0 ) y simplificando −...

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