estudio de funciones, aplicacion en economia

ANÁLISIS MATEMÁTICO II
ESTUDIO DE FUNCIONES, INTEGRACION, APLICACIONES ECONÓMICAS
Aplicación de las derivadas para el estudio analítico y gráfico de funciones

En el estudio analítico y representación gráfica de funciones interesa conocer:
El dominio de existencia de la función.
La continuidad de la función. Los puntos donde hay discontinuidad y el límite en dichos puntos.
Los cerosde la función, es decir, el conjunto solución (raíces reales) de la ecuación f(x) = 0. Estos puntos del dominio son las intersecciones de la curva con el eje x. Si la ecuación f(x) = 0 no tiene raíces reales, la curva no corta al eje x.
Los intervalos del dominio en los que la función es positiva, es decir, f(x) > 0 y en los que la función es negativa, es decir, f(x) < 0. En los intervalos depositividad, la curva de la función se ubica por encima del eje x y en los intervalos de negatividad la curva queda por debajo del eje x.
Evaluar si la función tiene asíntotas. El comportamiento (asintótico o no) de la función cuando x → ± ∞.
Los intervalos del dominio de la función donde f crece o decrece.
La existencia de extremos relativos (máximos y mínimos relativos).
La forma de la curvaen cada intervalo: concavidad y convexidad.
La existencia de puntos de inflexión.


Extremos relativos ó locales

Máximo relativo
Si f(x) y f'(x) son derivables en x = a, en el punto a hay un máximo relativo si se verifica:
1. f'(a) = 0, decimos que x = a es un punto crítico
2. f''(a) < 0
Entonces, el máximo relativo será f(a) en el punto de coordenadas (a;f(a))
Mínimo relativo
Sif(x) y f'(x) son derivables en x = a, en el punto a hay un mínimo relativo si se verifica:
1. f'(a) = 0, decimos que x = a es un punto crítico
2. f''(a) >0
Entonces, el mínimo relativo será f(a) en el punto de coordenadas (a;f(a))

En ambos casos, la recta tangente a la curva en x = a es horizontal pues su pendiente es nula, es decir,


Crecimiento y decrecimiento de una función
Sipara todo x1 y x2, x1 < x2, pertenecientes al intervalo [a, b] es:
f(x1) < f(x2), entonces f es estrictamente creciente en [a, b]
f(x1) > f(x2), entonces f es estrictamente decreciente en [a, b]
El signo de la primera derivada nos permite conocer en que intervalos la función crece y en cuales decrece. Es decir que:
Para todos los valores de x donde f’(x) >0, la función es creciente.Para todos los valores de x donde f’(x) < 0, la función es decreciente.


Puntos de inflexión
Llamamos puntos de inflexión a los puntos de la curva donde la función cambia su concavidad sin cambiar su comportamiento de crecimiento o decrecimiento.
Decimos que en x = a f(x) tiene un punto de inflexión si f’’(a) = 0. El punto de inflexión será (a;f(a)).


Concavidad de una función
Para todoslos valores de x donde f’’(x) > 0, la función es cóncava hacia arriba, convexa ó tiene concavidad positiva.
Para todos los valores de x donde f’’(x) < 0, la función es cóncava hacia abajo ó tiene concavidad negativa.

Si la función presenta concavidad positiva en un punto significa que la tangente a la curva en dicho punto se dibuja por debajo del gráfico de la función. Si la funciónpresenta concavidad negativa en un punto significa que la tangente a la curva en dicho punto se dibuja por encima del gráfico de la función.

Analicemos los siguientes ejemplos:
Realizamos el estudio analítico y representación gráfica de las siguientes funciones:
1)
Como la función es un polinomio su dominio es . La función es continua, no tiene puntos de discontinuidad ni asíntotas.
Calculamoslos ceros de la función y la intersección con el eje y:


Intervalos de positividad y negatividad:


Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces para buscar los puntos críticos:


Intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos:


Para hallar los extremos relativos, también podemos calcular la segunda derivada, y determinar el signo que toman en ella los puntos...