ESTUDIO DE FUNCIONES

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Matemática

LA DERIVADA Y EL ESTUDIO DE FUNCIONES
Recordamos los conceptos que usamos en el estudio de funciones.
Intervalos de
crecimiento y
decrecimiento

Máximos y
mínimos de
una función



Un intervalo A incluido en el dominio de la función es un intervalo de crecimiento
de la función si para todo x 1; x 2 que pertenecen a A, y x1< x 2 es f(x 1 ) < f(x2 )



Análogamenteun intervalo B incluido en el dominio de la función es un intervalo
de decrecimiento de la misma si para todo x1 ; x2 que pertenecen a A, y x 1< x 2 es
f(x1 ) > f(x 2).

•

Maximo absoluto: Consideremos un x0 en el dominio de f. Decimos que f tiene un
máximo absoluto en x0 si f(x0 ) f(x) para todos los x del dominio.

•

Máximo relativo: Decimos que f tiene un máximo relativo (o local) en x 0que
pertenece al dominio de f, si puede encontrarse un intervalo al que pertenece x0
en donde f(x0 ) f(x) para todos los x del intervalo.
Mínimo absoluto: Dado x0 en el dominio de f decimos que f tiene un mínimo
absoluto en x0 si f(x 0) f(x) para todos los x del dominio.

•

Mínimo relativo: Decimos que f tiene un mínimo relativo (o local) en x 0 que
pertenece al dominio de f, si puede encontrarseun intervalo en donde f(x0) f(x)
para todos los x del intervalo.

•

Relación entre
derivabilidad y
continuidad

Derivadas y la
gráfica de una
función



Si una función es derivable en un punto de su dominio entonces es continua en
ese punto.



Recordar que no es siempre cierto que si una función es continua en un punto
de su dominio, entonces es derivable: Existen funciones continuas en unpunto
que no son derivables.



Si una función no es continua en un punto de su dominio entonces no es
derivable en ese punto.

Si f es una función continua en un
intervalo [a; b] y derivable en (a; b)


Si f ' ( x) 0 para todo x en
(a; b), f es creciente en (a; b)



Si f ( x ) 0 para todo x en (a;
b), f es decreciente en (a; b)

'

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

Si f ' ( x ) 0 a la izquierda de b y

f ' ( x ) 0 a

la

derecha

de

b,

entonces b es un máximo relativo
de f.



'

Si f ( x ) 0 a la izquierda de b y
'

f ( x ) 0 a la derecha de b,
entonces b es un mínimo relativo
de f.



Si f ' ( x) 0 a la derecha y a la
izquierda de b entonces b no es

máximo ni mínimo de f.


f ' ( x ) 0 a la izquierda de b y a la
derecha deb, entonces b no es
máximo ni mínimo de f.

En los puntos donde la función
alcanza un máximo o un
mínimo, la recta tangente es
horizontal.
La pendiente de la recta
tangente es cero. Equivale a
decir que f ' ( x) 0


Si x 0 es máximo o un
mínimo de la función f,
entonces f ' ( x) 0

Pero puede ocurrir:

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

que lafunción sea derivable en x = a y
que la recta tangente en a sea
horizontal pero que la función no
tenga máximo ni mínimo en a.
Por ejemplo en la función
3

f(x) = (x – 3) + 2
del gráfico.



La función f alcanza
un máximo o un
mínimo en donde no
es derivable.

Luego: si x = c es un máximo o un mínimo de una función f, puede ocurrir:

Puntos críticos



No exista la derivada en x = c



Exista laderivada en x y es f ' (c ) 0

Si f es una función definida en c, y
'



f ( c)  0



ó no existe la derivada en c

se dice que c es un punto crítico de f.

Criterio de la
primera
derivada

Sea c un punto crítico de una función continua en un intervalo (a; b) que contiene a c. Si f
es derivable en ese intervalo, excepto quizás en c, entonces:


Si f ' ( x ) 0 a la izquierda de b y f ' ( x)0 a la derecha de b, entonces b es un
máximo relativo de f.



Si f ' ( x ) 0 a la izquierda de b y f ' ( x ) 0 a la derecha de b, entonces b es un
mínimo relativo de f.

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Ejemplo 1.
2

Si f ( x) x 3 ( x 5 )
a) Hallar los puntos críticos de f
b) Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de f
c) Dar, si...