estudio de la elipse

UNIDAD IV
ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS.
ESTUDIO DE LA ELIPSE “LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMETRICO”.
Definición Geométrica de la Elipse:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
Elementos de la elipse
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Ejefocal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A,A', B y B'.
Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor: Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y lossemiejes
 

ECUACION DE LA ELIPSE CON EJES PARALELOS A LOS EJES DE COORDENADAS.
Ecuación Ordinaria Con Centro Fuera Del Origen.

Hasta ahora hemos estudiado a la elipse cuando el centro se halla en (0,0) del eje de coordenadas, lo que conocemos como ecuación reducida o canónica de la elipse.
El centro de la elipse lo podemos tener situado en cualquier punto de los ejes de coordenadas.
En lasiguiente figura hemos situado al centro de la elipse en el punto .
Los nuevos valores de coordenadas quedan modificados cuya comprensión no te ofrecerán dificultades:

Otro modo de presentar la elipse con centro fuera del eje de coordenadas sería:

En este caso, el centro se halla en C(h,k) y la ecuación de la elipse será:

Cada vez que tengas que hallar la ecuación de una elipse con centrofuera del origen de coordenadas tendrás que transportarla al origen. 
Ecuación Ordinaria Con Centro En El Origen.

Ecuación General De La Elipse

Hasta ahora no nos hemos referido a la ecuación general de la elipse.
Una ecuación como:

se refiere a la ecuación general de la elipse.
La obtenemos de un modo sencillo basándonos en la ecuación de la elipse con centro en  y no en el origen decoordenadas.
Escribimos, según lo que acabas de estudiar, del modo siguiente:

Haciendo operaciones tenemos:

Ordenamos:

Damos los valores siguientes a:

Sustituyendo en (I) obtenemos:

Que es la ecuación general de la elipse.
Aplicaciones
Las aplicaciones que posee esta cónica son muy diversas en muchos de los ámbitos de la ciencia. Entre las más relevantes, se pueden citar lassiguientes:
• La característica de la elipse en un espejo de forma elipsoidal permite que un haz de luz que se origina en uno de sus focos y se impacte contra el espejo, se refleja en dirección del otro foco.
• En la construcción, algunos puentes se diseñan con arcos semielípticos. Un arco con la forma de una elipse de la parte superior se usa para soportar la estructura del puente.
• Lapropiedad acústica de la elipse se aplica en algunas construcciones. Por ejemplo, existe un famoso inmueble conocido como la galería de los murmullos localizado en el Ex Convento del Desierto de los Leones1, en la que una persona ubicada en uno de sus focos y que murmura, su voz puede escucharse por otra persona que se localice en el otro foco, a pesar que sea imperceptible para otras personas queestén en dicha galería.
• Existen algunos hornos construidos en forma de elipsoides. La fuente de calor se ubica en uno de sus focos y los elementos por calentar se colocan en el otro foco, aprovechando que la transferencia térmica se concentra ahí.
• Una de las leyes de Kepler acerca del movimiento de los planetas del sistema solar plantea que los planetas describen trayectorias elípticas y que...