estudio de la historia

Teoría de conjunto
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Relación binaria
En matemáticas, una relación binaria es una relaciónmatemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados, :1

Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria :

También puede expresarse:


Relación de equivalencia
Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:4

Dado un conjunto A, yuna relación binaria R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria es relación de equivalencia, si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.

2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica si un elemento a está relacionado con otro b, entonces el btambién está relacionado con el a.

3.- Relacióntransitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

Una relación de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan, Clases de equivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los subconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjunto A,entre ellos son disjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto A, veamos un ejemplo.
En Aritmética modular se define la operación modulo como el resto de la división, así:



el resto de dividir 5 entre 2 es 1
el resto de dividir 6 entre 3 es 0
el resto de dividir 7 entre 3 es 1
se dice que dos números son congruentes modulo n, si al dividir cada uno de esos números por n dan el mismoresto:

el 8 y el 17 son congruentes modulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan por resto 2.
La congruencia modular de grado n, de los números naturales, es una Relación de equivalencia, dado que es reflexiva:

es simétrica:

y es transitiva





Conjunto parcialmente ordenado[editar]
Artículos principales: Conjunto parcialmente ordenado y Diagrama de Hasse.
Unconjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva y antisimétrica:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

Se dice que esta relación binaria define un conjunto parcialmente ordenado, si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigomismo.


2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.

Tomando un conjunto A, formado, por ejemplo, por loselementos:

Se define el Conjunto potencia de A como el formado por todos los subconjuntos de A:

A cada uno de estos subconjuntos los llamamos:









Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si el primero es Subconjunto del segundo:


La relación pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un conjunto parcialmente ordenado, al serreflexiva:

Transitiva:

Antisimetrica:

Por lo que el conjunto de las partes de A, respecto a la relación binaria pertenencia es un conjunto parcialmente ordenado.
Esta relación no es total dado que:

Que se denominan no comparables, los pares de conjuntos no comparables son:










A la vista del diagrama, los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de las...