estudio de los materiales

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
IDEA INTUITIVA: Hasta el momento hemos trabajado con función de una sola variable, es decir, que van
de R a R. Ahora vamos a trabajar con funciones escalares, que reciben un vector de Rn y devuelven un valor
de R, y con funciones vectoriales que reciben un vector de Rn y devuelven uno de Rm. La dificultad de estas
funciones reside en que no tienen representacióngráfica posible, a excepción de las funciones de R2 en R, que
se pueden representar como superficies tridimensionales. Además, los cálculos de límites se complican mucho
llegando a ser imposibles. Por ello nos ocuparemos casi siempre de las más sencillas de este tipo de funciones,
aunque toda la teoría se referirá a funciones de n variables.
CONCEPTOS BÁSICOS:
DEFINICIÓN: Sea
una aplicaciónque a cada
le asigna
. Entonces
es una función escalar de varias variables.

NOTACIÓN: En el caso de que n=2, haremos:

Y en el caso de que n=3

DEFINICIÓN: Sea
. Llamamos DOMINIO de la función al conjunto de puntos de
en el que está definida
Ejemplo:

OBSERVACIÓN: Sea
. Llamamos GRÁFICA de
al conjunto
. A dicha gráfica la llamaremos superficie:
Ejemplo:
1

Llamamos CURVAS DENIVEL a los puntos de la forma
. Son los puntos obtenidos al intersercar la superficie generada por
con un plano z=cte, y proyectarla en el plano.
OBSERVACIÓN: Sea
. Llamamos SUPERFICIES DE NIVEL de
a los conjuntos de la forma conjunto
.
DEFINICIÓN: Sea
una aplicación que a cada
le asigna un vector
. Entonces
es una función vectorial de varias variables.

Y a las
se las llamafunciones coordenadas.
Ejemplo:

DEFINICIÓN: Sea
. Llamamos DOMINIO de la función a la intersección de los dominios de las funciones coordenadas de
.
2

LÍMITES:
DEFINICIÓN: Sea
y
un punto de acumulación de
. Entonces se dcice que:

si:

Graficamente podemos verlo así: Siempre existe un tal que las imágenes de la parte de la bola de centro
y radio que pertenece a
pertenecen a una bolade radio con centro en
.

Ejemplo:
Demostrar que

como

Con lo que queda comprobado.
DEFINICIÓN: Decimos que el límite de
es infinito si:
3

Es decir, si por mucho que nos acerquemos a
, la distancia de la función al cero es muy grande.
DEFINICIÓN: Si
es un contorno de
es, llamamos ENTORNO PERFORADO de
a
PROPIEDADES:
• Si
tiene límite en
, este es único.
• Si
tienenlímites
en
respectivamente, entonces:

• Si
tienen límites
en
respectivamente, entonces:

• Si además
en un entorno perforado de
y
, entonces:

OBSERVACIÓN: El principal problema que nos encontramos a al hora de calcular límites es como
acercarnos al punto. Hay muchas maneras(por rectas, parabolas, cubicas, etc). Pero como el límite ha de ser
siempre el mismo, podemos asegurar que noexiste si el límite nos da diferente para varios modos de
acercarse. El caso más sencillo a probar es acercarse al origen por una recta de pendiente m.
Ejemplo:

4

Nos acercamos por una trayectoria recta:

El límite depende de la pendiente, luego el límite no existe.
Sin embargo, el hecho de que por un tipo de trayectorias el límite sea el mismo no indica que el límite exista;
solo diceque si existiera debería ser ese.
Ejemplo:

Si
tuviera límite, debería ser cero. Si probamos ahora con otro tipo de trayectorias, como por ejemplo:

Luego el límite no existe.
PROPOSICIÓN: Sea
, y sea
,
Entonces

TEOREMA(Del Sandwich): Supongamos que tenemos
, y sea
un punto de acumulación de
. Si existe un entorno
de
tal que
y se verifica que:

Entonces:
5

Ejemplo:OBSERVACIÓN: Otro metodo de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r
tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy comodo.
Ejemplo:
1)

Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.
2)

Por el teorema del Sandwich

CONTINUIDAD:
DEFINICIÓN: Decimos que
es continua en
, punto de acumulación de
, si:
1) Existe
6

2) Existe y...