Estudio de los puntos de inflexi n

Estudio de los puntos de inflexión
Calcular los puntos de inflexión de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos lossiguientes pasos:
 1  Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
 2  Realizamos la derivada tercera, y calculamos elsigno que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:
f'''(0) = 6 Será un punto de inflexión.
 3  Calculamos la imagen (en la función) del puntode inflexión.
f(0) = (0)3 − 3 (0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)








Máximos y mínimos
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo olocal si:
1. Si f'(a) = 0.
2. Si f''(a) ≠ 0.
Máximos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 02. f''(a) < 0
Mínimos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Cálculo de máximos ymínimos
Estudiar los máximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos laderivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los cerosde derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)