Estudio De Metodos

TEOREMA DE BALLES
En este capítulo se presentan algunas de las leyes que rigen el comportamiento de las posibilidades. El tema de esta sección es el teorema que formulo en 1761 el reverendo Thomas Bayes sobre la probabilidad condicional. El teorema de Bayes se usa para calcular P[a/b] cuando la información disponible no tiene compatibilidad inmediata con lo necesario para aplicar directamente ladefinición de la probabilidad condicional.
En el ejemplo es un problema típico que requiere usar el teorema de bayes. El lector observara que la regla de bayes es de aplicación más bien natural, ¡sin quiera haber visto la definición formal del teorema Ị.

EJEMPLO
Suponga que en 40% de los accidentes en autopistas interestatales participa la velocidad exesiva de por lo menos uno de losconductores (evento E), y en un 30%, el consumo de bebidas alcohólicas, también al menos de uno de los conductores (evento A). En el caso de dicho consumo, existe la posibilidad de 60% de que también haya velocidad exesiva, mientras que en caso contrario esta probabilidad es de apenas 10%. Ocurre un accidente con participación de exceso de velocidad. ¿Cuál es la probabilidad de que participe el consumode bebidas alcohólicas? Se dan las probabilidades siguientes:

P[E]=0.40 P[A]-0.30 P[E|A]=0.60
P[E]=0.60 P[A]=0.70 P[E|A]=0.10

Se pide calcular P[A/E]. Puesto que se trata de una pregunta condicional, es natural buscar la solución en la definición de la probabilidad condicional. En este caso:

P[A|E]=P[E∩A]P[E]∪
Por desgracia, no se cuenta deinmediato con una de las probabilidades necesarias para la solución. Sin embargo, es posible obtenerla con facilidad. Con la regla de la multiplicación:

P[E∩A]=PEAP[A]

Nótese que si se participa la velocidad exesiva, el consumo de bebidas alcohólicas puede hacerlo también o no hacerlo. Por tanto, el evento E puede subdividirse en dos eventos mutuamente excluyentes, como sigue:
E=(E∩A)∪(E∩A)Así pues: P[E]=P[E∩A]+P[E∩A]

Se ha encontrado ya una expresión para la primera probabilidad, en el miembro derecho de la ecuación. La regla de multiplicación puede aplicarse a la segunda probabilidad para ver qué:
P[E∩A]=PEAP[A]

Con la situación se tiene:
PAE=PE∩APE

=PEAP[A]PEAPA+PEAP[A]

Adviértase la estructura de esta solución. Es el numerador, laexpresión condicional es opuesta a la que avía en la pregunta original, mientras que el denominador las expresiones condicionales abarcan todas las alternativas del evento en cuestión, en este caso A y A´. L a solución numérica puede calcularse mediante sustitución, como sigue:

PEAPAPEAPA+PEAPA

x=0.60(0.30)0.600.30+0.100.70=0.72

Si hubo velocidad exesiva en un accidente, existe probabilidad de72% de que se acompañe de consumo de bebidas alcohólicas.
En el ejemplo previo, existen dos eventos mutuamente excluyentes, A Y A´ , cuya unión es S. Es el teorema de bayes también es aplicable cuando S se subdivide en más de dos eventos mutuamente excluyentes. A continuación, se define el teorema en este contexto más general.
Teorema 2.4.1 (teorema de bayes). Sean A1, A2, A3,. . . . . . . . . .AN, un conjunto de eventos mutuamente excluyentes, cuya unión es S. sea B tal que P[B]≠0. Entonces, para cualquier evento A, con j=1,2,3,. . . . . . . . . ,n, se tiene que:

P[A|B]=PBAP[A]i=1nPBAP[A]

A fin de comprobar que podría haberse usado directamente el teorema de bayes para responder a la pregunta planteada en el ejemplo 2.4.1, tómese nota de que A y A´ son eventos mutuamenteexcluyentes, cuya unión es S, si el evento E ocurre con probabilidad distinta de cero. Así pues, son posibles las identificaciones siguientes:
A1=A A2=A´ B=E

La aplicación directa del teorema de bayes permite obtener lo siguiente:

P[A|B]=PBAP[A]PBAPA+PEAP[A]

P[A|E]=PEAP[A]PEAPA+PEAP[A]

Una comparación rápida muestra que es la misma solución deducida...