Estudio De Una Función

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN
Consideremos una función
. Vamos a ver los pasos necesarios para representarla. Aunque alguno de los pasos parezca que no es necesario, es conveniente no saltarse ninguno, pues así confirmamos que no hemos cometido ningún fallo.
Cada uno de los pasos que vamos a dar nos va a ir dando una idea más clara de cómo es nuestra función, hasta que al terminar los 9 pasossabremos perfectamente cómo es nuestra función.
 Dominio:
Son los valores de x que dan un valor real para y. Veamos distintos casos que se nos pueden presentar:

siendo
un polinomio | |

siendo
un polinomio | |

siendo
y
polinomios | |

siendo
un polinomio | |
 Paridad o Simetrias:
* Decimos que una función es par cuando es simétrica respecto al eje vertical, esdecir, cuando
.
* Decimos que una función es impar cuando es simétrica respecto del origen de coordenadas, es decir, cuando
.
Las funciones que no son pares ni impares no tienen simetrías con respecto a los ejes
 Asíntotas:
Son las rectas tangentes a la gráfica en el infinito. Pueden ser de tres tipos:
* Asíntotas Verticales
Son paralelas al eje OY. Es decir se trata de ver para quevalor finito de la variable x la y se va al infinito. Las que nosotros conocemos son de dos tipos:

siendo
y
polinomios | Si
se anula en
son las asíntotas verticales |

siendo
un polinomio | Las
que anulan al polinomio
hacen que y se valla a
, luego son asíntotas verticales. |
En las fracciones es necesario además distinguir entre el comportamiento por la derecha y por laizquierda de la asíntota. Para ello calculamos

* Asíntotas horizontales
Son paralelas al eje OX. Se trata de ver si la Y se queda fija para un valor de x. Para buscarlas se calcula:

;
Si estos límites son números reales (llamémoslo l), entonces y=l sería la asíntota horizontal.
* Asíntotas Oblicuas
Son de la forma
donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen, por lo quepara calcularlas haremos lo siguiente:

donde tanto m como n han de ser números reales y además m no nula, ya que si fuera nula la recta sería horizontal, por lo que las habríamos estudiado en el apartado anterior.
 Puntos de corte con los ejes:
Son los puntos en los que la gráfica de la función corta al eje OX o al eje OY.
OY cuando x=0

corta al eje
OX cuando y=0
 Signo de lafunción:
Se trata de encontrar las zonas en las que la función tiene signo positivo o negativo. Para determinar estas zonas o intervalos debemos de tener en cuenta, dentro del dominio de la función, los puntos en que la curva atraviesa al eje OX y las asíntotas verticales, pues solamente en uno de estos lugares la función puede cambiar de signo.
Para ver el signo en cada uno de estos intervalosbasta con sustituir en la función el valor de x por el de algún punto del intervalo a estudiar.
 Máximos y Mínimos relativos de la función:
Los máximos son los puntos en que la función pasa de crecer a decrecer.
Los mínimos son los puntos en que la función pasa de decrecer a crecer.

Mirando a la gráfica observamos que en ambos casos hay una cosa común: la pendiente de la recta tangente es 0.Por esto, para calcular los máximos y mínimos de una función derivamos la función e igualamos la función derivada a cero. Para concretar si es máximo o mínimo derivamos otra vez y sustituimos en los puntos obtenidos antes. Si el valor es positivo es mínimo; si es negativo es máximo.
Resolvemos
y obtenemos varios puntos
. Estos son los posibles máximos o mínimos.
Derivamos otra vez ysustituimos:
si
es mínimo
si
es máximo
En el caso de que
puede ser máximo, mínimo o punto de inflexión. Para ver qué es seguimos derivando hasta que encontremos una derivada (n-ésima) en la que
.
* Si n es par, entonces:
si
es mínimo
si
es máximo
* Si n es impar, entonces es punto de inflexión.
 Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Los puntos en los que una función...