Estudio del esquema de quaternions

ESTUDIO DEL ESQUEMA DE QUATERNIONS

Definiciones de las operaciones de los Quaternions

Un Quaternion, como el nombre ya lo dice, puede considerarse como 4-tuplas de números reales, es decir, como un elemento de . En este caso se escribirá:
(4.22)

Donde es números reales.

Se adoptará una manera alternativa de representar un Quaternion. Primero, se define una parte escalar paraser algún número real o escalar, . Y una parte del vector, por ejemplo q en el que es un vector ordinario .
(4.23)

Dónde i, j y k son el elemento esencial ortonormal estándar en . Se define ahora un Quaternion como la suma de:
(4.24)

En la suma, se llama la parte escalar del Quaternion mientras q se llama la parte vectorial del Quaternion. Los escalares se llaman loscomponentes del Quaternion.

Identidad y suma

Dos Quaternions son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos componentes, es decir que si:
(4.25)
y
(4.26)
Entonces p = q si y sólo si
(4.27)

La suma de los dos Quaternions p y q sobre es definido agregando los componentes correspondientes, eso es:
(4.28)
La suma para Quaternions, definido de esta forma, esexactamente igual que para las 4-tuplas de números reales y así es satisface las propiedades del campo. Hay también un Quaternion nulo en el que cada componente del Quaternion es 0. Además, cada Quaternion q tiene un negativo o un lo inverso aditivo, –q denotado en el que cada componente es el negativo del componente correspondiente de q. donde, esta suma de Quaternions es asociativa y conmutativa,porque la suma de números reales tiene estas propiedades.

Multiplicación

Sea c es un escalar y q un Quaternion:
(4.29)

Entonces el producto del Quaternion q y el c escalar se da por:
(4.30)

Así multiplicar el Quaternion por el escalar multiplicamos cada componente del Quaternion simplemente por el escalar. Note que el resultado es de nuevo un Quaternion, eso es, el conjuntode Quaternions está cerrado bajo la multiplicación por escalar.

El producto de dos Quaternions es más complicado. Debe definirse para que los principios siguientes el producto especial está satisfecho:
(4.31)


Estos productos no son conmutativos. Ahora, usando las reglas ordinarias para la multiplicación algebraica junto con los productos fundamentales anteriores, es fácil (sinembargo algo tedioso) verificar que el producto de Quaternions debe ir como sigue:


(4.32)
La expresión puede escribirse ahora como:
(4.33)

Antes de reescribir esta expresión en un formulario más conciso, es útil utilizar el producto escalar y el producto cruz del álgebra vectorial entres dimensiones. Si se tiene los vectores:
y, (4.34)
Entonces, el producto escalar se da por:
(4.35)

Y, el producto cruzado es:
(4.36)

Usando estos resultados, se puede escribir p como el producto de dos Quaternions de una forma más concisa:
(4.37)
El producto de los dos Quaternions es otro Quaternion, con parte escalar:
(4.38)
Y, parte del vector:(4.39)

El conjunto de Quaternions es cerrado bajo la multiplicación así como la suma. El producto del Quaternion es de hecho asociativo. Además, desde que el producto cruzado no es conmutativo, ninguno es el producto del Quaternion. Y, para el álgebra del Quaternion, ésta es la única salida de las propiedades del campo. El conjunto de Quaternions tiene identidad multiplicativa, a saber, unQuaternion con parte real 1 y parte vectorial 0.

Finalmente cada Quaternion no-nulo tiene un inverso multiplicativo. Este comentario final completa nuestra justificación que el conjunto de Quaternions es de hecho un anillo no-conmutativo.

Producto de Grassmann

El producto más útil del Quaternion es el producto de Grassmann, que es no conmutativo. En algunas circunstancias el producto de...