Estudio del movimiento armónico de un péndulo simple:

Estudio del movimiento armónico de un péndulo simple:

1. Objetivo:
El actual laboratorio tiene como designio que el alumno pueda determinar (por medio de la ecuación armónica para movimiento libre angular) el periodo de oscilación de un péndulo simple utilizando diferentes procedimientos, así como identificar la relación existente entre la longitud de cuerda del péndulo y el periodo deoscilación.

2. Hipótesis experimental:
Se busca justificar que el periodo de oscilación de un oscilador angular (péndulo) puede determinarse de distintas maneras. Para ello partimos del hecho de que el sistema se puede tratar como un modelo idealizado, comprendido por una masa puntual suspendida de un hilo sin masa (o masa despreciable) no extensible (péndulo simple); concluimos que el sistemaejecuta un movimiento armónico simple, ya que está sujeto solo a la acción de una fuerza de restitución proporcional al desplazamiento angular (obviando la fricción interna o la viscosidad que ofrece el aire). El periodo (tiempo en el cual el movimiento oscilatorio se repite) se obtendrá del cociente , donde es la frecuencia angular (característica física del sistema). Asimismo se comprobarála dependencia de L (longitud del péndulo) en las ecuaciones que describen el periodo y la frecuencia angular; llegando a verificar la idea intuitiva de:”un péndulo largo tiene un periodo mayor que uno corto”.

3. Fundamento Teórico:
Se empieza por el hecho de que el sistema puede ser considerado como un modelo idealizado (péndulo simple) compuesto por una masa puntual suspendido por unacuerda ligera, donde el extremo de ésta está fijo (para dicha idealización, se garantiza que las dimensiones de la cuerda sean mucho mayores que cualquier dimensión de la masa, y que la amplitud de las oscilaciones sean los suficientemente pequeñas para aproximar el ángulo en radianes y obviar las fuerzas disipativas del entorno). La trayectoria de la masa puntual (pesa) no es recta, sino el arco deun círculo de radio “L” (longitud de la cuerda). Si el movimiento es armónico simple se cumplirá que la fuerza de restitución (torque recuperador) es proporcional a (x(desplazamiento)= L ).

La fuerza de restauradora es la componente tangencial de la fuerza neta (la que produce el movimiento; la tensión se equilibra con la componente paralela a la cuerda de la fuerza y solo genera latrayectoria curva de la masa), será:

Dicha fuerza es proporcional no a sino a sen( ), entonces el movimiento no es armónico simple; pero, si se toma en cuenta que el ángulo es pequeño, sen( ) se aproximará a en radianes, y por lo tanto las oscilaciones son armónicas simples.
Dicha fuerza aplica un momento restaurador al péndulo:
τ = FL
Y, el momento de inercia del péndulo es I = mL ,entonces la ecuación diferencial será:


Luego, :

;

Así, el periodo (tiempo en el cual la oscilación se repite) de oscilación se define:
T= ; y , entonces:




Podemos observar que en las expresiones encontradas no interviene la masa de la partícula, el periodo únicamente depende de la longitud de la cuerda para un valor de g, por lo tanto, el periodo en un movimiento libreangular es constante, e independiente de las condiciones iniciales.

Dentro del experimento se realizarán varias maneras de obtener el periodo, una de ellas será mediante el “diagrama de fases”, es una grafica a detalle de la velocidad vs. el desplazamiento, la cual es obtenida al elevar al cuadrado y sumar ambos lados de las ecuaciones correspondientes al desplazamiento angular para todotiempo “t” y a la velocidad angular para todo tiempo “t”(derivada del desplazamiento), ambas son “leyes de movimiento para un M.A.S. ; ordenando términos se obtiene lo siguiente:
(t) = Asen (ω t)
Y la velocidad:
’ (t) = ω Acos(ω t)
Luego,
, y dicha ecuación representa una elipse en el plano, con semiejes ω0A (eje Y) y A (eje X). Así, por dicha gráfica se puede obtener ω0 dividiendo...