Estudio Sobre Las Ecuaciones En Diferencias, Analizando Su Clasificación, El Cálculo De Sus Soluciones

Ecuaciones en diferencia: definición.

Sea el número natural n, tal que el término n-ésimo de una sucesión es función de n, es decir xn = x(n), donde los términos siguientes x_(n+1),x_(n+2),… existen, entonces llamamos Ecuación en Diferencias a toda ecuación que relaciona al término x_n de la sucesión, la sucesión incógnita x n = x(n) y términos siguientes de la sucesión, representada por laforma:
F(n,x_n,x_(n+1) x_(n+2),…)=0
El orden de una ecuación en diferencias es la diferencia entre el argumento n más grande y el más pequeño que aparece en ella.
Una ecuación en diferencias se dice lineal de orden k, si tiene la forma:
a_k 〖(n)x〗_(n+k)+⋯+a_1 〖(n)x〗_(n+1)+a_0 〖(n)x〗_n=R(n)
Donde los coeficientes a_k (n),a_0 (n) son no nulos, y R(n) es una función de n. Cuando la sucesiónincógnita se encuentra en una función no lineal, la ecuación se llama no línea.
Una ecuación en diferencias lineal de orden k se dice homogénea si R(n) es nula. Caso contrario se dice no homogénea.
Una solución de una ecuación en diferencias será una sucesión de valores para los cuáles se satisface la ecuación.
Ecuaciones en diferencia: clasificación.
Ecuaciones en diferencia de primer orden.Ecuaciones en diferencia de segundo orden.
Ecuaciones en diferencia de primer orden:
Una ecuación en diferencias lineal de primer orden es aquella que puede expresarse como:
p_1 (t) y_(t+1)+p_2 (t) y_t=q(t)

Donde p_i (t),i=1,2 y q(t) son funciones en la variable discreta t. Si la sucesión
q(t) es nula, entonces la ecuación lineal recibe el nombre de ecuación homogénea asociada al ejemplo.Cuando las funcionesp_1 (t)y p_2 (t) son constantes, se dice que la ecuación lineal es de coeficientes constantes.
Este tipo de ecuaciones son muy interesantes en el estudio de dinámica de poblaciones. Suelen aparecer escritas como:
y_(t+1)=〖p(t)y〗_t+q(t)
Donde 〖p(t)y〗_t representa el crecimiento de la población en el tiempo t y q(t) el número de individuos que en el tiempo t se incorporan a lapoblación como consecuencia de la inmigración.
Ecuaciones en diferencia de segundo orden:
Una ecuación en diferencias lineal de segundo orden es aquella que puede expresarse como:
p_1 (t) y_(t+2)+p_2 (t) y_(t+1)+p_3 (t) y_t=q(y)
Donde p_i (t),i=1,2,3 y q(t) son funciones en la variable discreta t.
Si la función q(t) = 0, entonces es su ecuación lineal en diferencias homogénea de segundo ordenasociada. Además, si todas las funciones pi(t) son constantes, entonces es una ecuación en diferencias lineal de segundo orden con coeficientes constantes, y será en la que nos centraremos.
Veamos en primer lugar un teorema de existencia y unicidad de solución para una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden n.
TEOREMA 1: Dada la siguiente ecuación lineal en diferencias homogénea deorden n
y_(t+n)+p_1 (t) y_(t+n-1)+⋯+p_n (t) y_t=0
Y dados n números reales, existe una única solución, cumpliendo:
y_0=y(0)=k_0,y_1=k_1,…y_(n-1)=k_(n-1)
TEOREMA 2: Si yt1, yt2 son soluciones de la ecuación 〖ay〗_(t+2)+〖by〗_(t+1)+〖cy〗_t=0, entonces k1yt1+k2yt2, con k1 y k2 constantes, sigue siendo solución.
TEOREMA 3: Si ytc es una solución de:
〖ay〗_(t+2)+〖by〗_(t+1)+〖cy〗_t=q(t),
E yth essolución de la ecuación homogénea asociada, entonces y_t=y_t^h+y_c^t es solución de la ecuación completa.
A continuación veremos las condiciones bajo las cuales la combinación lineal de dos soluciones particulares de la ecuación homogénea da lugar a su solución general.
TEOREMA 4: Si y_t^1,y_t^2 son dos soluciones de la ecuación del teorema 2, entonces
y=k_1 y_t^1+k_2 y_y^2
Con k_1 y k_2constantes en la solución general de la ecuación si:
|■(y_0^1&y_0^2@y_1^1&y_1^2 )| ≠ 0
TEOREMA 5: Si y_t^pes una solución particular de
〖ay〗_(t+2)+〖by〗_(t+1)+〖cy〗_t=q(t),
E y_t^1,y_t^2 forman un sistema fundamental de soluciones, entonces
y_t^p+k_1 y_t^1+k_2 y_t^2
Es la solución general de la ecuación antes nombrada.


Ecuaciones en diferencia: cálculo de sus soluciones.
El Teorema 5 nos...