Estudio

4.1 Longitud de curvas.

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[pic]
Vamos a calcular la longitud de una curva [pic]en un intervalo[pic] cuya derivada [pic]sea contínua en en [pic]; a esta porción de gráfica se lellama arco .
Para aproximar la longitud del arco s se va a usar ahora segmentos de recta que apromimen la longitud en cada intervalo.
Se hace una partición ( puede ser regular) delintervalo [pic]; [pic]para [pic]P[pic] y para [pic]P[pic] de manera que el segmento P[pic]P[pic] tiene longitud calculada por el teorema de Pítagoras [pic]

Si se suma la longitud decada segmento, P[pic]P[pic]P[pic]P[pic],... , P[pic]P[pic] se obtiene una aproximación a la longitud total s [pic].

Para poder ahora tomar el límite de la suma cuando la norma de lapartición [pic], utilizaremos que la función [pic]es derivable y contínua en [pic](condición que se puso para que fuera un arco) y por lo tanto lo es en cada subintervalo [pic]por lo quesatisface el teorema del valor medio.
Luego existe [pic]tal que [pic]remplazando
s [pic]. Si [pic]
s [pic]
Ejemplo 1:Encontrar la longitud del segmento de parábola [pic]en el intervalo[pic]
[pic]s [pic]. Resolviendo ahora [pic]con [pic]
[pic]
[pic]
s [pic]( unidades lineales)
Ejemplo 2 : Encontrar la longitud de la curva [pic][pic]
Como [pic]y no es contínua enel intervalo propuesto, podemos utilizar el hecho de que la longitud de la curva [pic]será la misma para [pic]( es prácticamente utilizar la inversa) y ahora [pic]con lo cual s [pic]quees la calculada en el ejemplo1.
Ejemplo 3: Calcular la longitud de la curva [pic]para [pic]
[pic]Pero no se puede encontrar antiderivada de [pic]por lo tanto se puede
aproximar conalgún método numérico como Regla de Simpson con [pic], o [pic](ejercicio)
Si llamamos s(x) la función longitud de arco para una arco [pic][pic]
s(x) [pic][pic]s [pic][pic]s [pic]