Estudio

1. Primero recordar que la ecuacion de la elipse viene dada de la forma (x - m)²/a² + (y - n)²/b² = 1

Luego para transformar nuestra ecuacion en una del tipo anterior dividimos por 100 y nos quedax²/4 + y²/25 = 1

Luego a=2 y b=5

Luego los vertices son (2,0), (-2,0) , (0,5), (0,-5)

El centro es el (0,0) ya que m(coordenada x) y n(coordenada y) son 0.

La distancia de los focos alcentro viene dada por c = (b² - a²) ^ 1/2 = (21) ^1/2

Luego F sera (0, 21^1/2) y F_prima(0, -(21)^1/2)

2. Pasamos a forma canónica:

9x²-18x+___-16y²-64y+___ = 1999(x²-2x+___)-16(y²+4y+___) = 199

9(x²-2x+1)-16(y²+4y+4) = 199+9(1)-16(4)

9(x-1)²-16(y+2)² = 144

Dividiendo entre 144:

(x-1)²/16-(y+2)²/9 = 144

a) Centro en C(1,-2)

b) Para encontrar los focos, necesitamossaber dónde está el centro, qué orientación tiene la hipérbola, y cuál es el valor de la distancia "c", que es la distancia del centro a los focos, y se obtiene con la fórmula:

c² = a² + b²

quees la suma de los denominadores de la forma canónica:

c² = 16 + 9

c² = 25

c = 5

Como la variable "x" quedó en la fracción positiva, la orientación de la hipérbola es horizontal y a lacoordenada "x" del centro hay que sumarle y restarle 5:

F(1+5,-2), F'(1-5,-2)

F(6,-2), F'(-4,-2)

c) Vértices. Se requiere el centro, la orientación y el valor de "a" que es la distancia delcentro a los vértices. a² se encuentra en el denominador de la fracción positiva y es igual a 16, y a=4, por lo tanto:

V(1+4,-2), V'(1-4,-2)

V(5,-2), V'(-3,-2)

d) Asíntotas. Igualamos a cero laforma ordinaria:

(x-1)²/16-(y+2)²/9 = 0

se factoriza como un producto de binomios conjugados:

[(x-1)/4 + (y+2)/3]*[(x-1)/4 - (y+2)/3]=0

y cada factor se iguala a cero:

(x-1)/4 + (y+2)/3 =0; (x-1)/4 - (y+2)/3 = 0

3(x-1) + 4(y+2) = 0; 3(x-1) - 4(y+2) = 0

3x-3+4y+8 = 0; 3x-3-4y-8 = 0

3x+4y+5=0; 3x-4y-11=0

e) Gráfica. Localizamos el centro y los vértices:

C(1,-2);...