Estudio

Capítulo 8: Inferencia e Intervalos de confianza para proporciones y medias
8.1 Tomando decisiones acerca de la proporción de una población 8.2 Tomando decisiones acerca de la media de una población 8.3 Intervalos de confianza para una proporción 8.4 Intervalos de confianza para la media de una población 8.5 Intervalos de confianza y Test de hipótesis En este capítulo ya estamos en el final delciclo del método científico, tenemos todas las bases para poder hacer inferencia estadística, es decir usar la información de la muestra para generalizar y llegar a conclusiones acerca de la población de interés. Partiremos con lo más básico que es la inferencia para proporciones y medias en una población y veremos que los pasos para hacer inferencia se repiten, lo que cambia es el parámetro deinterés.

8.1 Tomando decisiones acerca de la proporción de una población
Primero revisemos el caso donde lo que nos interesa es investigar sobre una proporción de una población. Hipótesis Escriba las hipótesis nula y alternativa que usaría para probar las siguientes aseveraciones. Las hipótesis deben ser expresadas en términos del parámetro P, la proporción de interés en la población. a) EnChile más de la mitad de los embarazos no son planeados.

b) Menos del 3% de niños vacunados contra la rubéola adquieren la enfermedad. c) En Chile la proporción de personas con intolerancia a la lactosa es diferente a 0,25.

¿Mejora el proceso? Un estudiante de Ingeniería Civil Industrial, en su memoria de tesis, asegura que su recién creado proceso para empastar libros tiene menor tasa de fallasque el antiguo proceso usado por una imprenta local. La tasa de fallas del antiguo proceso usado por la imprenta era de 30%. Datos: Se saca una muestra de 80 libros empastados usando el nuevo proceso y 16 tienen fallas. a) ¿Las hipótesis nula y alternativa apropiadas son?

b) ¿El test estadístico observado está dado por? c) Encuentre el valor p del test.

d) ¿Es el nuevo proceso mejor? Pasosen una prueba de hipótesis: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
7.

Establecer la hipótesis Definir el nivel de significación Obtener los datos Definir test estadístico y verificar los supuestos Calcular el test estadístico observado bajo Calcular el valor p Tomar la decisión con respecto a Conclusión del investigador

H0

H0

8.

Inferencia simple para proporciones Distribución muestral de

$ p , laproporción muestral

Si P representa la proporción de elementos en una población con alguna característica. Tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño n de esa población y n es “suficientemente” grande, entonces la distribución de la proporción muestral p $ es aproximadamente normal:

 P(1 - P)   entonces la proporción muestral estandarizada es: Z = p ~ N P , ˆ &   n  
Test Z parauna proporción en la población
•

p-P ˆ ~ N (0, 1) & P (1 − P ) n

Queremos docimar una hipótesis acerca del parámetro en la población P. La hipótesis nula es

H 0 : P = p 0 , donde

p0 es un valor hipotético de P. •
Supuestos: Se recomienda usar este test cuando los datos provienen de una muestra aleatoria de tamaño n, donde n satisface que np 0 y n (1 − p 0 ) es mayor o igual a 10.Nuestra decisión acerca del parámetro P estará basada en el valor de la proporción muestral estandarizada, la cual es:

•

Z=

$ p − p0 p0 (1 − p0 ) n
N (0,1) . Notar que el

• •

Este “score” o puntaje z es el test estadístico, y su distribución bajo H 0 es aproximadamente test estadístico no depende de la hipótesis alternativa Calculamos el valor-p del test, el cuál depende de ladirección de la hipótesis alternativa:

Test Unilateral, cola superior
Si

Test Unilateral, cola inferior
Si

Test Bilateral
Si

H 1 : P > p 0 , entonces el P( Z > z obs ) es el área

H 1 : P < p 0 , entonces el P( Z < z obs ) es el área

H 1 : P ≠ p0 , entonces el
2 P( Z > z obs ) el área

valor-p es

valor-p es

valor-p es

a la derecha del test estadístico observado bajo H 0...