estudios

Trigonometría

Conceptos básicos

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las diversas relaciones que se pueden establecer entre los lados y los ángulos de un triangulo.

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.


k^2=s^2+w^2Catetos



Funciones o razones trigonométricas

Las razones trigonométricas son relaciones que se establecen entre dos lados y un ángulo en un triangulo rectángulo.

Las razones trigonométricas son seis, a saber:

Seno (sen⁡θ): es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Coseno (cos⁡θ): es el cociente entre le cateto adyacente y la hipotenusa.

Tangente (tan⁡θ)(tg⁡θ): es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Cotangente (cot⁡θ) (ctg⁡θ): es el cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

Secante (sec⁡θ): es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

Cosecante (csc⁡θ): es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.






Existe una regla nemotécnica para aprender sin esfuerzo la definiciónde las razones trigonométricas. Es fundamental el orden de ellas.

sen⁡θ=Co/hipo

cos⁡θ=Ca/hipo

tan⁡θ=Co/Ca

cot⁡θ=Ca/Co

sec⁡θ=hipo/Ca

csc⁡θ=hipo/Co



Primero se escribe la secuencia en los numeradores, hacia abajo, y luego en los denominadores hacia arriba.

Ejemplos

Hallar todas las razones trigonométricas del ángulo dado. Primeroencuentre el valor del lado que falta, simplifique y racionalice cuando sea necesario.













En primer lugar se debe aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del cateto que falta.

(a+3b)^2=(a-5b)^2+x^2

Intercambiando los dos miembros de las ecuaciones y aplicando productos notables, se tiene:

a^2-10ab+25b^2+x^2=a^2+6ab+9b^2

Transponiendo términos:x^2=6ab+9b^2+10ab-25b^2

x^2=16ab-16b^2

Luego:

x=√(16(ab-b^2 ) ) ∶factor comun

x=4√(ab-b^2 ) ∶Raiz del prodcuto.

Aplicando la definición y reemplazando, se tiene:

sen⁡∅=(a-5b)/(a+3b)

cos⁡∅=(4√(ab-b^2 ))/(a+3b)

tan⁡∅=(a-5b)/(4√(ab-b^2 )) √(ab-b^2 )/√(ab-b^2 )=((a-5b) √(ab-b^2 ))/4(ab-b^2 )

cot⁡∅=(4√(ab-b^2 ))/(a-5b)

sec⁡∅=(a+3b)/(4√(ab-b^2 )) √(ab-b^2)/√(ab-b^2 )=((a+3b) √(ab-b^2 ))/4(ab-b^2 )

csc⁡∅=(a+3b)/(a-5b)




3m-7p
2√21mp




x= ?

Aplicando Pitágoras:

x^2=(3m-7p)^2+(2√21mp)^2
Aplicando productos notables y propiedades de la potenciación y la radicación:

x^2=〖9m〗^2-42mp+49p^2+4(21mp)

x^2=〖9m〗^2-42mp+49p^2+84mp

Simplificando y factorando:x^2=9m^2+42mp+49p^2=(3m+7p)^2

∴x=3m+7p

Por lo tanto:

sen⁡∝=(2√21mp)/(3m+7p)

cos⁡∝=(3m-7p)/(3m+7p)

tan⁡∝=(2√21mp)/(3m-7p)

cot⁡∝=(3m-7p)/(2√21mp) √21mp/√21mp=((3m-7p) √21mp)/42mp

sec⁡∝=(3m+7p)/(3m-7p)

csc⁡∝=(3m+7p)/(2√21mp) √21mp/√21mp=((3m+7p) √21mp)/42mp













MÓDULO Nº1

Encuentre el valor del lado “x” y luego todas las razones trigonométricas delángulo dado. Simplifique y racionalice, cuando sea necesario.




























































































De la definición de las razones trigonométricas, se pueden deducir las siguientes 3 identidades denominadasinversas; estas son:

csc⁡ϕ=1/sen⁡ϕ

sec⁡ϕ=1/cos⁡ϕ

cot⁡〖ϕ=1/tan⁡ϕ 〗

Cofunci0nes

Se denominan cofunciones a aquellos ángulos complementarios cuyas razones trigonométricas son iguales.


Analicemos el siguiente ejemplo:







sen⁡λ=m/p

cos⁡〖λ=s/p〗

tan⁡〖λ=m/s〗

cot⁡〖λ=s/m〗

sec⁡〖λ=p/s〗

csc⁡〖λ=p/m〗

sen⁡〖θ=s/p〗

cos⁡〖θ=m/p〗

tan⁡〖θ=s/m〗

cot⁡〖θ=m/s〗...