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MATERIA: CALCULO DIFERENCIAL









Números reales
Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simplesaunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
El conjunto de los números reales
Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos. {1,2,3,4…})
Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y elcero.{…,-2,-1,0,1,2…}.
Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma m/n, donde m y n son enteros .
Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.
Propiedades Algebraicas de los Números RealesLas propiedades algebraicas básicas de los números reales a,b y c son:
1. Cerradura: a + b y ab son números reales
2. Conmutativa: a + b = b + a, ab = ba
3. Asociativa: (a+b) + c = a + (b+c), (ab)c = a(bc)
4. Distributiva: (a+b)c = ac+bc
5. Identidad: a+0 = 0+a = a
6. Inverso: a + (-a) = 0, a(1/a) = 1
7. Cancelación: Si a+x=a+y, entonces x=y
8. Factor cero: a0 = 0a = 0
9. Negación:-(-a) = a, (-a)b= a(-b) = -(ab), (-a)(-b) = ab
Propiedades de orden de los números reales
Tricotomía: Es el resultado que se obtiene al comparar dos números a, b, que pertenezcan a los números reales (R), que cumplan con una y solo una de las condiciones siguientes:
a b, donde: a mayor que b
a = b, donde: a igual que b
Transitiva: Es la que me permite comparar tres números reales a, b y c, de talforma que, cuando un número entero es menor que otro y éste es menor a un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.
Por ejemplo: Sea: a = - 17 , b = - 9 y c = 18
Sí: a < b, se cumple que - 17 < - 9 Y: b < c, se cumple que - 9 < 18 Entonces: a < c, se cumple que - 17< 18
Sí m y n e R, podemos concluir que si m>n entonces - m < n.
Un número m es positivo sí y solo sí m > 0.
Unnúmero m es negativo sí y solo sí m < 0.
Propiedades de completes o Completitud de IR
La propiedadad de completitud de IR dice que los números reales ``rellenan la recta numérica'', o que no ``dejan huecos en la recta''. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Pero ¿qué significa esto matemáticamente?. En otras palabras, cómo escribir esto con el lenguaje propio de lateoría de números reales, sin hacer alusión a la interpretación geométrica de éstos como puntos de una recta. 
Para tratar de precisar esto, tomemos un punto P en la recta, y consideremos el conjunto A formado por todos los números reales ``ubicados'' a la izquierda de ese punto. Consideremos también el conjunto B formado por todos los números reales ``ubicados'' a la derecha del mismo punto. Tenemosentonces que para x  A y y  B se cumple x  y. La completitud dice que hay un número real  que corresponde al punto P, y por lo tanto x    y, para todo x  A y todo y  B.

Interpretación geométrica de la completitud
Definición de conjunto
En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas,números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un...