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PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Límites y Continuidad
Límite de una función en un punto. Propiedades.
Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.
Cálculo de límites.
Función continua en un punto y en un intervalo.
Operaciones con funciones continuas.
Discontinuidades.
El Teorema del valor medio de Bolzano y el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.
Objetivos MínimosConocer los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito
como infinito) y de límite en el ±. Saber calcular límites de cocientes de polinomios. Saber determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función. Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos principales deindeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas. Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la continuidad lateral, y, como consecuencias elementales, la conservación del signo y la acotación de la función en un entorno del punto. Saber donde son continuas las funciones elementales. Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que puedenaparecer y saber reconocerlos usando los límites laterales. Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos. Conocer el concepto de continuidad de una función en un intervalo y qué significa eso en los extremos del intervalo. Conocer el teorema del valor intermedio de Bolzano y su aplicación a la localización de ceros de una función y al dibujo de gráficas de funciones que secortan. Conocer el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass y, como consecuencia, que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada y alcanza sus extremos.
1. Límite de una función en un punto. Propiedades. A) LIMITE EN UN PUNTO.
A1) Límite finito: Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por (Es decir, quesi fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,).)
A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).
B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
B1)siempre que no aparezca la indeterminación .
B2) con .
B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .
B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .
B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.
B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .
C) LIMITES LATERALES.
C1) Límite por laizquierda:
C2) Límite por la derecha:
TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata).
TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata).
Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale en lugar de l.
2. Límites en el infinito. Asíntotas deuna curva. A) LIMITES EN EL INFINITO.
A1) Límite finito.
A2) Límite infinito.
Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.
B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.
B1) Asíntotas verticales. Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos)de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función
B2) Asíntotas horizontales. Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en...