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REGRESIÓN LINEAL

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Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y una variable independiente.

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:
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[pic]: variable dependiente,explicada o regresando.
[pic]: variables explicativas, independientes o regresores.
[pic]: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.
donde [pic] es la intersección o término "constante", las [pic]son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y [pic] es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresiónlineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.




EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL


El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas [pic] (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros [pic] desconocidos:
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donde [pic] es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad nocontrolables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:
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El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos [pic], de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello senecesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
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Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, [pic], son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden conparámetros reales del proceso generador. Por tanto, en
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Los valores [pic] son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.




HIPÓTESIS MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CLÁSICO


1. Esperanza matemática nula
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Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no tomará sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone que tomaráalgunos valores mayores que cero y otros menores, de tal forma que su valor esperado sea cero.
2. Homocedasticidad
[pic] para todo εt
Todos los términos de la perturbación tienen la misma varianza que es desconocida. La dispersión de cada [pic] en torno a su valor esperado es siempre la misma.
3. Incorrelación
[pic] para todo t,s con t distinto de s
Las covarianzas entre las distintasperturbaciones son nulas, lo que quiere decir que no están correlacionadas o autocorrelacionadas. Esto implica que el valor de la perturbación para cualquier observación muestral no viene influenciado por los valores de la perturbación correspondientes a otras observaciones muestrales.

REGRESORES NO ESTOCÁSTICOS

1. No existen relaciones lineales exactas entre los regresores
[pic] Suponemos que no existenerrores de especificación en el modelo ni errores de medida en las variables explicativas

2. Normalidad de las perturbaciones [pic]




SUPUESTOS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL


Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:
1. La relación entre las variables es lineal.
2. Los errores en la medición de las variables explicativas sonindependientes entre sí.
3. Los errores tienen varianza constante. (Homocedasticidad)
4. Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables).
5. El error total es la suma de todos los errores.




TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL


REGRESIÓN LINEAL SIMPLE


Sólo se maneja una variable independiente, por lo...