Etructuras Algebraicas

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Una estructura algebraica es un conjunto de operaciones binarias, se representan , se representan las estructuras algebraicas sencillas.

Una operación binaria es cuando dos conjuntos se operan entre si y el resultado de esta operación da un tercer conjunto.

La tabla de cayley es una tabla que contienen filas y columnas, para poder trabajar se necesita dos conjuntos finitosejemplo: A(1,2,3) y B(4,5,6)

C= AxB→C donde x es una multiplicación ordinaria

| |4 |5 |6 |
|X | | | |
|1 |4 |5 |6 |
|2 |8 |10 |12 |
|3 |12|15 |18 |


Donde C = {4,5,6,8,10,12,15,18}

ESTRUCTURA ALGEBRAICA

Las estructuras algebraicas de una operación tiene un nombre en particular

❖ Si cumple la ley de cierre se le denomina como estructura algebraica monoide

❖ Si cumple la de cierre y la asociativa en un semigrupo

❖ Si cumple la de cierre, la asociativa, y la ley deidentidad en un semi grupo con identidad

❖ Si cumple la de cierre, la asociativa, la de identidad e la inversa en un grupo

❖ Si cumple ser grupo mas la ley conmutativa es un grupo abeliano

Las estructuras algebraicas pueden ser: anillos, divisor cero, dominio entero o cuerpo o campo

Para que sea anillo la primera operación debe de ser grupo abeliano

Para que estructuraalgebraica sea divisor cero esta debe de cumplir que X y Y que pertenecen en un grupo B entonces X y Y tiene que ser distintos al elemento neutro

Para que una estructura algebraica de dos operaciones sea dominio entero debe de ser anillo Abeliano con identidad y cumplir que X y Y debe de pertenecer a un conjunto B y debe de dar el elemento neutro

Para que sea cuerpo o campo este tiene que serprimero un dominio entero

PROPIEDAD DE LA OPERACIÓN:

LEY DE CIERRE: esta dice que al operar dos elementos el resultado debe de pertenecer al conjunto asignado en la operación

ELEMENTO INVERSO O IDENTIDAD: es un elemento operado con el neutro de la operación esta debe de dar de resultado el elemento ejemplo; el elemento neutro de la suma es el 0 entonces a + 0 = a y 0 + a = 0ELEMENTO INVERSO: es aquel que al ser operado con cualquier elemento este debe de dar de resultado el elemento neutro de la operación ejemplo; el elemento inverso de la suma es la resta entonces a + (-a) = 0 y (-a) + a = 0

LEY ASOCIATIVA: este hace que los elementos se pueden asociar sin alterar el resultado ejemplo (a+b)+c=a+(b+c)=b

LEY CONMUTATIVA: esta dice que el orden de los elementos noaltera el producto ejemplo; a+b=b a=c

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ESPACIO EUCLIDIANO O ESPACIO VECTORIAL

Un espacio euclidiano es el conjunto de n ordenadas, también conocido por espacio n dimensionales y la denota por R este es una sucesión de n números reales

R1=espacio u dimensional, línea recta real

R2=espacio bidimensional, pares ordenados

R3=espacio tridimensional, terna ordenadas

……

Rn=espacio n dimensional, n ordenadas

SUMA DE VECTORES Y MULTIPLICACION POR UN ESCALAR

Las propiedades que cumple la suma de vectores son las mismas que cumplían las estructuras algebraicas de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva

Las leyes que cumple la multiplicación por una escalar son:

La de cierre bajo lamultiplicación Hx

La distributiva (H+1)x=Hx+Ix ; H(x+y)=Hx+Hy

La asociativa (HI)x=H(Ix)

Y el elemento neutro de la multiplicación 1x=x

OPERACIONES BASICAS CON VECTORES EN Rn

Las operaciones básicas con vector Rn son las mismas que las operaciones básicas o sea la suma de vectores y la multiplicación por una escalar, la diferencia seria n elementos y n vectores

ESPACIO VECTOREALES...