Euaciones

˜ ENSENANZA

REVISTA MEXICANA DE F´ ISICA E 53 (1) 56–66

JUNIO 2007

Animaciones en Matlab y maple de ecuaciones diferenciales parciales de la f´sica-matem´ tica ı a
G.M. Ortigoza Capetillo Facultad de Matem´ ticas, Universidad Veracruzana, Zona Universitaria, a Apartado Postal 270, 91090 Xalapa, Ver. e-mail: gortigoza@uv.mx
Recibido el 22 de mayo de 2006; aceptado el 23 de agosto de2006 En este trabajo se presentan soluciones exactas de ecuaciones diferenciales parciales que dependen del tiempo; estas soluciones son de la forma u(x, t), con x ∈ Rn , n = 1, 2, 3. Las gr´ ficas de las soluciones a diferentes tiempos permiten la creaci´ n de animaciones de las a o soluciones. Se muestra de manera general la forma de crear animaciones en Maple y Matlab. Estas animaciones puedenutilizarse como herramienta did´ ctica para presentar fen´ menos f´sicos como son: la propagaci´ n de ondas de un medio a otro, superposici´ n de ondas, a o ı o o difusi´ n, etc; as´ mismo pueden usarse para despertar el inter´ s de los estudiantes por el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales y o ı e sus aplicaciones. Para las animaciones se eligi´ un subconjunto importante deecuaciones de la f´sica matem´ tica, entre las que se cuentan: la o ı a ecuaci´ n del transporte, la ecuaci´ n de ondas (vibraci´ n de cuerdas y membranas, problema de transmisi´ n), las ecuaciones de Klein Gordon, o o o o Korteweg de Vries (no lineal), del calor y de Maxwell. Brevemente se describen algunas de las t´ cnicas de soluci´ n anal´tica de edps como e o ı ´ son: escalamiento, m´ todo decaracter´sticas, separaci´ n de variables, etc. M´ s aun, el contar con soluciones anal´ticas puede ser util para la e ı o a ı verificaci´ n de implementaciones num´ ricas. o e Descriptores: Ense˜ anza de la f´sica; herramientas did´ cticas; ecuaciones diferenciales parciales. n ı a In this work we present some exact solutions of time dependent partial differential equations (pdes); these solutions havethe general form u(x, t), with x ∈ Rn , n = 1, 2, 3. The plots of the solutions at different times allow us to create animations of the solutions. We show in a general framework how to make animations in Maple and Matlab. These animations can be used as a didactic tool in order to introduce some physical phenomena such as: wave propagation, superposition, transmission from one medium to another,diffusion, etc. They can also be used to motive the students to the study of partial differential equations and its applications. A representative subset of differential equations of mathematical physics was chosen that includes: the transport equation, wave equation, heat equation and equations of Klein Gordon, Korteweg de Vries, and Maxwell. We briefly present some of the analytical methods forthe solutions of pdes: scaling, characteristics and separation of variables. Finally exact solutions can be very useful for code testing in numerical implementations. Keywords: Physics education; education aids; partial differential equations. PACS: 02.30Jr; 01.40Fk; 01.50Fr; 01.50Ht

1. Introducci´ n o
Recientemente ha surgido un creciente inter´ s por incorpoe rar, a la ense˜ anza deconceptos f´sicos y matem´ ticos, el uso n ı a de nuevas tecnolog´as, como son: paquetes computacionales ı de c´ lculos simb´ licos, animaciones y ambientes gr´ ficos. a o a As´ podemos encontrar algunas fuentes bibliogr´ ficas donı a de se estudia la f´sica cl´ sica , las ecuaciones diferenciales ı a y el an´ lisis num´ rico usando los paquetes Maple, Matlab y a e Mathematica [3, 6–8, 11–13]. Estasherramientas computacionales han mostrado su utilidad al presentar conceptos f´sicos y matem´ ticos en forma ı a amena y novedosa. Mediante el uso de animaciones se puede capturar la atenci´ n de los estudiantes y despertar su ino ´ ter´ s por incursionar en areas de la f´sica y las matem´ ticas e ı a aplicadas, tales como: mec´ nica celeste, teoria de vibracioa nes, mec´ nica de fluidos, ecuaciones...