Euclides

EUCLIDES
Elementos de geometría (Obra principal de Euclides)
Geometría plana
Rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos degeometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas geometrías no euclídeas en el siglo XIX.
Teoría de números,
Rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y relaciones de los números. Según esta amplia definición, la teoría de números incluye gran parte de las matemáticas, en particular del análisis matemático. Sin embargo, normalmente se limita alestudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros conjuntos de números con propiedades similares al conjunto de los enteros.
* Tipos de enteros
Si a, b y c son números enteros tales que a = bc, a es un múltiplo de b o de c, y b y c son submúltiplos o factores de a. Si c es distinto de ±1, entonces b se denomina submúltiplo propio de a. Los enteros pares son los múltiplos de 2 incluyendo el0, como -4, 0, 2 y 10; un entero impar es aquél que no es par, por ejemplo, -5, 1, 3, 9. Un número perfecto es aquel entero positivo que es igual a la suma de todos sus submúltiplos propios positivos (partes alícuotas); por ejemplo, 6 (que es igual a 1 + 2 + 3) y 28 (que es igual a 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son números perfectos. Un entero positivo que no es perfecto se denomina imperfecto y puede serdeficiente o superante según que la suma de sus submúltiplos propios positivos sea menor o mayor que él. Así, 9, cuyos submúltiplos son 1 y 3, es deficiente; y 12, cuyos factores son 1, 2, 3, 4 y 6, es superante
* Números primos
Gran parte de la teoría de números se dedica al estudio de los números primos. Un número p (p ¹ ±1) es primo si sus únicos factores son ±1 y ±p. Un número a sedenomina compuesto o plano si a = bc, para b y c distintos de ±1. Los diez primeros números primos positivos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29; los diez primeros números compuestos positivos son 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 y 18. Un número compuesto se puede descomponer como producto de factores primos de forma única (sin considerar el orden de los factores). Por ejemplo, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5y 12 = 2 × 2 × 3.
El libro IX de Elementos de geometría del matemático griego Euclides contiene la demostración de que la cantidad de números primos es infinita, es decir, no existe un número primo máximo. La prueba es sencilla: sea p un número primo y q el producto de todos los enteros del 1 al p, más uno, es decir, q = (1 × 2 × 3 × … × p) + 1. El entero q es mayor que p y no es divisible porningún entero del 2 al p, ambos inclusive. Cualquier submúltiplo de q distinto de 1, y por tanto cualquier submúltiplo primo, debe ser mayor que p, de donde se deduce que debe haber un número primo mayor que p.
Aunque hay infinitos números de primos, estos son cada vez más escasos a medida que se avanza hacia números más grandes. Se sabe que la cantidad de números primos entre 1 y n, para nbastante grande, es aproximadamente n dividido por el logaritmo neperiano de n. Un 25% de los números entre 1 y 100, un 17% de los números entre 1 y 1.000, y un 7% de los números entre 1 y 1.000.000 son primos.
Dos números primos cuya diferencia es 2 (por ejemplo, 5 y 7, 17 y 19, 101 y 103) se denominan primos gemelos. No se sabe si la cantidad de primos gemelos es infinita. Aunque todavía no se hapodido demostrar, se cree que todo número mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos; por ejemplo, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 20 = 3 + 17 y 100 = 3 + 97.
El máximo común divisor de dos enteros a y b es el mayor entero positivo que divide a a y b con resto cero. Si el máximo común divisor de dos enteros es 1, se dice que los dos números son primos relativos o...