Euclides

Quinto postulado de Euclides
En geometría, el postulado de las paralelas o quinto postulado de Euclides, debido a que es el quinto postulado de los Elementos de Euclides, es un axioma distintivo de la geometría euclidiana. El postulado afirma:
Postúlese... Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadasindefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores que dos rectos.

Euclides, en su tratado "Los Elementos", construye toda la Geometría hasta entonces conocida –la que luego se llamó Geometría euclidiana– basándose en tan sólo 13 definiciones, ocho nociones comunes y cinco postulados.
Algunas formulaciones equivalentes del V postulado
La suma de [las medidas de]los ángulos de cualquier triángulo es igual a [la suma de las medidas de] dos ángulos rectos.
Elementos, I, 32. (Proposición ya conocida en tiempos de Aristóteles, siglo IV a. C.)
Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio, siglos I-II a. C.)
Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una paralela (Claudio Ptolomeo siglo II).
Ésta es, sin duda, la formulación másconocida del postulado. Tanto es así que es muy frecuente encontrar libros en los que se dice que es éste el quinto postulado de Euclides.
Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita (Proclo, siglo V).
Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta (Thābit ibn Qurra, h. 826-901).
Todos los puntos equidistantes de una línea recta, situados a un ladodeterminado de ella, constituyen una línea recta (Clavio, 1574).
Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado (Wallis, 1663).
Existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes (Saccheri, 1733).
En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto. (Clairaut, 1741).
Se puede construir un triángulo cuyaárea sea mayor que cualquier área dada (Gauss, 1799).
Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos (Legendre, 1824).
No hay patrón métrico absoluto de longitud (Gauss, 1816).
La dificultad y el problema
Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
Y el prolongar continuamente una recta finita enlínea recta.
Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los menores que dos rectos.
Al leerlo tal y como lo escribió Euclides y dentrode su contexto, es fácil comprender que muchos consideraran que el V postulado, mucho más complicado en su formulación que los otros cuatro, parece no encajar entre estos. El problema es pues si realmente es el V postulado independiente de los otros cuatro, o bien puede deducirse de ellos (junto con las nociones comunes y las definiciones). ¿Es realmente un postulado o debe incluirse entre lasproposiciones y teoremas?
Desde el principio hay distintas dificultades (de tipo, digamos, psicológico) en aceptarlo como postulado, y estas dan lugar a distintas posiciones frente al mismo. Por un lado estaban los que lo aceptaban sin más como un postulado. En otro sector estaban los que prefieren incluirlo entre las nociones comunes (tipo Las cosas iguales a una misma cosa son también igualesentre sí.). Pero eran muchos los que consideraban que seguramente era posible probarlo a partir de los otros cuatro postulados (y de las definiciones y nociones comunes). Probablemente influyera decisivamente en esta posición el hecho de que el postulado sea una proposición condicional.
En la discusión se llega a decir cosas como:
[...] la afirmación de que como convergen más y más a medida que...