Euclides
Páginas: 3 (504 palabras)
Publicado: 9 de septiembre de 2012
Teoremas de Euclides |
De Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza, acerca de sus vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométricos,conocida simplemente por Los Elementos.
Además de estas y otras obras, Euclides escribió Los Datos que trata de la resolución de problemas, dándose elementos de la figura y determinándose otros. LosPorismos es una de sus obras perdidas; se cree que trataba de los Lugares Geométricos y de proposiciones sobre transversales. Muchos piensan que esta ha sido la mejor obra de Euclides.
A continuación sepresentan dos Teoremas de Euclides, uno referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.
Teorema de Euclides referido a un cateto
“En un triángulo rectángulo la medida decada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”
Demostración:
|
Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y seproyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):
donde
DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)
AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre lahipotenusa)
c = p + q
Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes)
|
Luego;
Que es lo mismo que:
| |
De forma análoga se tiene queΔACB ~ ΔADC (a la derecha) ,entonces
Que es lo mismo que:
Ver: PSU: Geometría; Pregunta 09_2005
Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema deEuclides también de la siguiente forma:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.
Por lotanto,
Ejemplos:
|
1) En la figura a la derecha, determinar a,
si c = 7 y q = 4
|
2) En la figura a la izquierda, determinar b
si c = 4 y p = 1
Teorema de Euclides...
De Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza, acerca de sus vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométricos,conocida simplemente por Los Elementos.
Además de estas y otras obras, Euclides escribió Los Datos que trata de la resolución de problemas, dándose elementos de la figura y determinándose otros. LosPorismos es una de sus obras perdidas; se cree que trataba de los Lugares Geométricos y de proposiciones sobre transversales. Muchos piensan que esta ha sido la mejor obra de Euclides.
A continuación sepresentan dos Teoremas de Euclides, uno referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.
Teorema de Euclides referido a un cateto
“En un triángulo rectángulo la medida decada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”
Demostración:
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Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y seproyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):
donde
DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)
AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre lahipotenusa)
c = p + q
Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes)
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Luego;
Que es lo mismo que:
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De forma análoga se tiene queΔACB ~ ΔADC (a la derecha) ,entonces
Que es lo mismo que:
Ver: PSU: Geometría; Pregunta 09_2005
Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema deEuclides también de la siguiente forma:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.
Por lotanto,
Ejemplos:
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1) En la figura a la derecha, determinar a,
si c = 7 y q = 4
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2) En la figura a la izquierda, determinar b
si c = 4 y p = 1
Teorema de Euclides...
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