Euler, Heun, Rugenkutta

Introducción

Métodos unipaso explícitos

Errores de discretización y redondeo

Introducción

Métodos unipaso explícitos

Errores de discretización y redondeo

Índice
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Introducción Clasificación (métodos en diferencias finitas) Métodos unipaso explícitos Formulación general Método de Euler Método de Taylor Orden de un método. Caso Euler Método de Euler mejorado o de Heun Método deEuler modificado Métodos de Runge-Kutta Errores de discretización y redondeo Error de discretización Convergencia, consistencia y estabilidad Error de redondeo

Métodos numéricos para EDOs

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Introducción

Métodos unipaso explícitos

Errores de discretización y redondeo

Introducción

Métodos unipaso explícitos

Errores de discretización y redondeo

Introducción
1Introducción Clasificación (métodos en diferencias finitas) Métodos unipaso explícitos Formulación general Método de Euler Método de Taylor Orden de un método. Caso Euler Método de Euler mejorado o de Heun Método de Euler modificado Métodos de Runge-Kutta Errores de discretización y redondeo Error de discretización Convergencia, consistencia y estabilidad Error de redondeo Motivación: Limitaciones deltratamiento analítico: pocos problemas son resolubles. No linealidad Objetivo: obtener información aproximada de solución a PVI Limitaciones de información proveniente del tratamiento numérico: elección de instantes de tiempo y precisión en la aproximación. Interpretación geométrica: vector de campo Herramienta básica: desarrollo en polinomio de Taylor (necesita cálculo de derivadas; aproximaciónválida en un entorno)

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Errores de discretización y redondeo

Introducción

Métodos unipaso explícitos

Errores de discretización y redondeo

Clasificación
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Introducción Clasificación (métodos en diferencias finitas) Métodos unipaso explícitos Formulación general Método de Euler Método de Taylor Orden de un método. Caso Euler Método deEuler mejorado o de Heun Método de Euler modificado Métodos de Runge-Kutta Errores de discretización y redondeo Error de discretización Convergencia, consistencia y estabilidad Error de redondeo

Métodos unipaso y métodos multipaso Unipaso: (x0 , y0 ) → (x1 , y1 ) → (x2 , y2 ) . . . Multipaso: (x0 , y0 ) . . . , (xi , yi ) → (xi+1 , yi+ 1) Métodos explícitos y métodos implícitos Explícitos (unpaso) yi+1 = yi + hφ(xi , yi , h) Implícitos (un paso) yi+1 = yi + hφ(xi , yi , yi+1 , h)
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Errores de discretización y redondeo

Introducción

Métodos unipaso explícitos

Errores de discretización y redondeo

Métodos unipaso explícitos. Formulación general

Método de Euler
y(x) y(xi ) + hf (xi , yi ) = yi + hf (xi , yi ) y(xi + h) yiEn cada paso, se considera un nuevo PVI: PVIi = donde xi = xi−1 + h = x0 + ih Aproximamos y(xi+1 ) mediante yi+1 = yi + hφ(xi , yi , h) fórmula general de los métodos unipaso (se diferencian entre sí en la forma de resolver el PVI) xi y = f (x, y) y(xi ) = yi
′

xi + h

x

y(xi + h) ≈ y(xi ) + hy′ (xi ) = y(xi ) + hf (xi , y(xi )) y obtenemos yi+1 = yi + hf (xi , yi )

IntroducciónMétodos unipaso explícitos

Errores de discretización y redondeo

Introducción

Métodos unipaso explícitos

Errores de discretización y redondeo

Método de Taylor
Polinomio de Taylor yi+1 ≈ yi + hf (0) (xi , yi ) + donde y′ y′′ y′′′ ... y(k+1) = f (0) = f , ∂f ∂f + f, = f (1) = ∂x ∂y = f (2) = ... = f (k) = ∂f (1) ∂f (1) ∂2f ∂2f ∂2f ∂f ∂f + f = 2 +2 f + 2f2 + + ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂x ∂f(k−1) ∂f (k−1) + f. ∂x ∂y ∂f ∂y
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Orden de un método. Caso Euler
h2 (1) hk f (xi , yi ) + . . . + f (k) (xi , yi ) 2! k!

Cuando un método numérico y el polinomio de Taylor coinciden hasta el término en hp (incluido), la fórmula del método es de orden hp y se representa O(hp ). En ese caso el error de discretización es O(hp+1 ) Euler básico y el polinomio de Taylor coinciden hasta el...