EULER

Ecuaciones Diferenciales
Tema 1. Parte 2: Métodos Numéricos para
Ecuaciones Diferenciales
Ester Simó Mezquita
Matemática Aplicada IV

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Tema 1 Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

Tema 1. Parte 2: Métodos numéricos para
Ecuaciones Diferenciales
1.
2.
3.
4.
5.

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Introducción
El método de Euler
El término de error
Método de Euler mejorado
Método deRunge-Kutta

Tema 1 Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

1. Introducción
A estas alturas del curso un estudiante podría pensar que la
mayoría de las ecuaciones diferenciales pueden resolverse
explícitamente, con la solución de una fórmula dada
Aunque es posible demostrar de forma abstracta que casi cualquier
EDO posee una solución, por lo menos localmente, en general
resulta muydifícil expresar explícitamente de que solución se
trata
Pero lo primordial es que muchas de las ecuaciones que debemos
resolver en ingeniería no poseen soluciones de forma cerrada
Por ejemplo, las ecuaciones que rigen la forma del ala de un avión
no pueden resolverse. Y sin embargo, se vuela a diario

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Tema 1 Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

1. Introducción
La llegadade los ordenadores de alta velocidad ha hecho viable
y fácil llevar a cabo aproximaciones numéricas de las
soluciones
Las soluciones se obtienen con cualquier grado de exactitud, se
trazan gráficas y se lleva a cabo cualquier análisis que se desee
Pero los métodos numéricos jamás deben emplearse de forma
aislada. Siempre que sea posible, el usuario de estos métodos
debería utilizartécnicas cualitativas e intentar determinar si la
solución está acotada, si es estable, ¿cómo son sus asíntotas en el
infinito? ¿cómo se relacionan las diferentes soluciones entre sí?
De esta manera, los ingenieros no utilizan los métodos numéricos a
ciegas, sino, más bien, lo hace para brindar argumentos a su
entendimiento
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Tema 1 Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

1.Introducción
Los métodos numéricos para resolver EDO tienen dos características
que se han de tener en cuenta:
1. Sólo permiten hallar soluciones particulares. Por lo tanto, para
poderlos aplicar, hará falta dar un conjunto completo de condiciones
iniciales
2. Necesitamos que las EDO o el conjunto de EDO que se les pasa
sean todas de primer orden

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Tema 1 Métodos Numéricos para EcuacionesDiferenciales

2. El método de Euler
Consideremos un problema de valores iniciales

Podemos integrar de

a

para obtener

Ya que la función desconocida
se presenta en el integrando a la derecha,
no podemos proceder , a menos que contemos con un método de aproximación
de la integral.
El método de Euler se obtiene a partir de la técnica más simple para aproximar
la integral

6Tema 1 Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

2. El método de Euler
Problema de valores iniciales

Supongamos que el integrando no varía mucho en el intervalo

resultará un error muy pequeño si reemplazamos
por su valor en el
punto extremo izquierdo.

Colocando en su lugar una partición
del intervalo
que se estudia. Supongamos que cada intervalo
tiene longitud
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Tema1 Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

2. El método de Euler
Problema de valores iniciales

Sobre la base de estos cálculos definimos

Continuando de esta manera, y estableciendo que

En general, estableciendo que

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, definimos

Tema 1 Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

definimos

2. El método de Euler
Método de Euler
Fijado
, es posible obteneraproximaciones de la solución
del problema de valores iniciales

en los puntos

donde

mediante el método recurrente

son los puntos de nuestra solución aproximada
de la ecuación diferencial
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Tema 1 Métodos Numéricos para
Ecuaciones Diferenciales

2. El método de Euler
son los puntos de
nuestra solución aproximada de la ecuación diferencial

Solución exacta

Solución...