Euler

EL INVENTOR....Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática,[1] siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía máscomodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.
También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ comosímbolo de los sumatorios y la letra para hacer referencia a la unidad imaginaria.[21] El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.[22]
[editar] Análisis
El desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de lainvestigación matemática del siglo XVIII, y la familia Bernoulli había sido responsable de gran parte del progreso realizado hasta entonces. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en uno de los principales objetos del trabajo de Euler. Si bien algunas de sus demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de rigor matemático,[23] es cierto que sus ideassupusieron grandes avances en ese campo.

es el único número real para el valor a para el cual se cumple que el valor de derivada de la función f (x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es exactamente 1. En comparación se muestran las funciones 2x (línea punteada) y 4x (línea discontinua), que no son tangentes a la línea de pendiente 1 (en rojo).
[editar] El número
Euler definió la constantematemática conocida como número como aquel número real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función x en el punto es exactamente 1. Es más, es el número real tal que la función x se tiene como derivada a sí misma. La función x es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo neperiano, también llamado logaritmo natural o logaritmo enbase .
El número puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite:

y también como la serie:

Además, Euler es muy conocido por su análisis y su frecuente utilización de laserie de potencias, es decir, la expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:

Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de la función arcotangente. Su atrevido aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en1735,[23] por el cual quedaba demostrado que:

Interpretación geométrica de la fórmula de Euler.
Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo enormemente el ámbito dela aplicación matemática de los logaritmos.[24] También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula:

Siendo un caso especial de la fórmula (cuando = ), lo que se conoce como la...